《正弦函數、余弦函數的圖象》三角函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.能根據正弦函數的定義,利用單位圓正弦線作正弦函數的圖象.
2.掌握用“五點法”作正弦函數與余弦函數的圖象.
3.能從簡單的圖象變換的角度理解正弦函數圖象與余弦函數圖象的內在聯系.
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正弦函數余弦函數的圖象PPT，第二部分內容：自主預習
一、正弦函數的圖象
1.(1)如圖單位圓所示,角α的終邊與單位圓交點B(x0,y0),你能用點A坐標表示sin α和cos α嗎?
提示:由三角函數的定義可知sin α=y0,cos α=x0.
(2)在(1)中,過點B作BM⊥x軸,垂足為M,如果規定BM方向與y軸正向同向為正,與y軸負向同向為負,這樣就可以用BM的大小(含正負)來表示正弦值.
請問角α在 0,π/2 內按逆時針旋轉時sin α的大小變化規律如何?角α在 π/2,π 時呢?
提示:當sin α在α∈ 0,π/2 時,隨α的增大,sin α值越大,為增函數;
當sin α在α∈ π/2,π 時,隨α的增大,sin α的值越小,為減函數.
其中BM能代表sin α的值,BM又叫做正弦線.
(3)對于任意一個實數x,其正弦值、余弦值是否唯一?能否將sin x,cos x看作是關于變量x的函數?
提示:唯一,能.
(4)正、余弦函數的解析式及其定義域
(5)作函數圖象最基本的方法是什么?如果用描點法作正弦函數y=sin x在[0,2π]內的圖象,可取哪些點?
提示:作函數圖象最基本的方法是描點法;用描點法作正弦函數y=sin x在[0,2π]內的圖象,可取當x=0,π/6,π/4,π/3,π/2,… 時的各點.
2.填空
利用正弦線作正弦函數的圖象
利用正弦線作正弦函數圖象的步驟:(1)等分;(2)作正弦線;(3)平移得點;(4)連線.
3.如何得到x∈[2π,4π],[-2π,0],…時y=sin x的圖象?
提示:根據誘導公式一,可將函數y=sin x在[0,2π]內的圖象通過向左、向右平移得到.
4.填空
正弦函數y=sin x,x∈R的圖象叫正弦曲線.
5.在函數y=sin x,x∈[0,2π]的圖象上,起關鍵作用的點有哪幾個?
提示:一個最高點、一個最低點、三個圖象與x軸的交點.
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正弦函數余弦函數的圖象PPT，第三部分內容：探究學習
用“五點法”作三角函數的圖象
例1用“五點法”作出下列函數的圖象:
(1)y=sin x-1,x∈[0,2π];
(2)y=1-1/3cos x,x∈[-2π,2π].
分析:(1)先在[0,2π]上找出5個關鍵點,再用光滑曲線連接;(2)先用“五點法”作出函數在[0,2π]上的圖象,再通過對稱或平移得到[-2π,0]上的圖象.
解:(1)列表:
描點、連線,如圖.
(2)列表:
描點、連線,得到函數y=1-1/3cos x在[0,2π]上的圖象,再將該圖象向左平移2π個單位即可得到函數在[-2π,2π]上的圖象,如圖.
反思感悟 用“五點法”畫函數y=Asin x+b(A≠0)(或y=Acos x+b(A≠0))在[0,2π]上的簡圖的步驟:
(1)列表:
(2)描點:在平面直角坐標系中描出下列五個點:
(0,y1),(π/2 "," y_2 ),(π,y3),(3π/2 "," y_4 ),(2π,y5).
(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個點連接起來.
反思感悟 圖象變換的規律
1.平移變換
(1)函數y=f(x+a)的圖象是由函數y=f(x)的圖象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位得到的;
(2)函數y=f(x)+b的圖象是由函數y=f(x)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位得到的.
2.對稱變換
(1)函數y=|f(x)|的圖象是將函數y=f(x)的圖象在x軸上方的部分不動,下方的部分對稱翻折到x軸上方得到;
(2)函數y=f(|x|)的圖象是將函數y=f(x)的圖象在y軸右邊的部分不動,并將其對稱翻折到y軸左側得到;
(3)函數y=-f(x)的圖象與函數y=f(x)的圖象關于x軸對稱;
(4)函數y=f(-x)的圖象與函數y=f(x)的圖象關于y軸對稱;
(5)函數y=-f(-x)的圖象與函數y=f(x)的圖象關于原點對稱.
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正弦函數余弦函數的圖象PPT，第四部分內容：思想方法
利用數形結合思想解決解的個數問題
典例 方程lg x=sin x的解的個數為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
審題視角該方程無法用求根公式求解,且只要求得到方程根的個數,而函數y=sin x和y=lg x是基本初等函數,其圖象容易畫出,因此可采用數形結合的方法:在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數的圖象,觀察它們交點的個數,即得方程根的個數.
解析:在同一平面直角坐標系中分別作出函數y=lg x與y=sin x的圖象,如圖所示,當x=5π/2時,y=lg5π/2<1,y=sin5π/2=1;當x=9π/2時,y=lg9π/2>1,y=lg x與y=sin x無交點.如圖所示,由圖知有三個交點,故方程有三個解.
答案:D
方法點睛數形結合思想是一種重要的數學思想,在研究方程的根以及根的個數問題時,若方程中涉及的函數是基本初等函數,其圖象容易作出,這時可以將方程的根轉化為函數圖象的交點,通過數形結合解決問題,使抽象的代數問題獲得直觀形象地解決.
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正弦函數余弦函數的圖象PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.用“五點法”作函數y=2-3sin x的圖象,下列點中不屬于五個關鍵點之一的是( )
A.(0,2) B.(π/2 "," 1) C.(π,2) D.(3π/2 "," 5)
解析:當x=π/2時,y=2-3sin x=-1,故(π/2 "," 1)不是一個關鍵點.
答案:B
2.函數y=cos(x+3π)的圖象與余弦函數圖象( )
A.關于x軸對稱
B.關于原點對稱
C.關于原點和x軸對稱
D.關于原點和坐標軸對稱
解析:因為y=cos(x+3π)=-cos x,所以其圖象與余弦函數y=cos x的圖象關于原點和x軸都對稱.
答案:C
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