《章末復習課》三角函數PPT
同角三角函數基本關系和誘導公式的應用
【例1】(1)已知sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,則sin θ+cos θsin θ-cos θ=________.
(2)已知f(α)=sin2π-α•cos2π-α•tan-π+αsin-π+α•tan-α+3π.
①化簡f(α);
②若f(α)=18,且π4<α<π2,求cos α-sin α的值;
③若α=-47π4,求f(α)的值.
[思路點撥]先用誘導公式化簡,再用同角三角函數基本關系求值.
母題探究
1.將本例(2)中“18”改為“-18”“π4<α<π2”改為“-π4<α<0”求cos α+sin α.
[解] 因為-π4<α<0,所以cos α>0,sin α<0且|cos α|>|sin α|,
所以cos α+sin α>0,
又(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=1+2×-18=34,所以cos α+sin α=32.
2.將本例(2)中的用tan α表示1fα+cos2α.
[解] 1fα+cos2α=1sin αcos α+cos2α
=sin2α+cos2αsin αcos α+cos2α=tan2α+1tan α+1.
規律方法
1.牢記兩個基本關系式sin2α+cos2α=1及sin αcos α=tan α,并能應用兩個關系式進行三角函數的求值、化簡、證明.在應用中,要注意掌握解題的技巧.比如:已知sin α±cos α的值,可求cos αsin α.注意應用(cos α±sin α)2=1±2sin αcos α.
2.誘導公式可概括為k•π2±α(k∈Z)的各三角函數值的化簡公式.記憶規律是:奇變偶不變,符號看象限.
三角函數的圖象變換問題
【例2】(1)已知曲線C1:y=cos x,C2:y=sin2x+2π3,則下面結論正確的是( )
A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移π6個單位長度,得到曲線C2
B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移π12個單位長度,得到曲線C2
C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移π6個單位長度,得到曲線C2
D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移π12個單位長度,得到曲線C2
(2)將函數y=sin(2x+φ)的圖象沿x軸向左平移π8個單位長度后,得到一個偶函數的圖象,則φ的一個可能取值為( )
A.π2 B.π4
C.0 D.-π4
規律方法
1.函數y=sin x的圖象變換到y=Asin(ωx+φ),x∈R圖象的兩種方法
2.對稱變換
(1)y=f(x)的圖象――――→關于x軸對稱y=-f(x)的圖象.
(2)y=f(x)的圖象――――→關于y軸對稱y=f(-x)的圖象.
(3)y=f(x)的圖象――――→關于0,0對稱y=-f(-x)的圖象.
三角函數的性質
【例3】(1)若函數f(x)=3sin(2x+θ)(0<θ<π)是偶函數,則f(x)在[0,π]上的單調遞增區間是( )
A.0,π2 B.π2,π
C.π4,π2 D.3π4,π
(2)已知函數f(x)=2sin2x+π6+a+1(其中a為常數).
①求f(x)的單調區間;
②若x∈0,π2時,f(x)的最大值為4,求a的值.
[思路點撥] (1)先根據函數f(x)是偶函數,求θ,再依據單調性求增區間,最后與[0,π]求交集.
(2)①由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z求增區間,
由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z求減區間.
②先求f(x)的最大值,得關于a的方程,再求a的值.
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