《基本不等式》一元二次函數、方程和不等式PPT課件(第一課時基本不等式)
第一部分內容:學 習 目 標
1.了解基本不等式的證明過程.(重點)
2.能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數式的大小.
核 心 素 養
1.通過不等式的證明,培養邏輯推理素養.
2.借助基本不等式形式求簡單的最值問題,提升數學運算素養.
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基本不等式PPT,第二部分內容:自主預習探新知
新知初探
1.重要不等式
∀a,b∈R,有a2+b2≥_______,當且僅當_______時,等號成立.
2.基本不等式
(1)有關概念:當a,b均為正數時,把a+b2叫做正數a,b的算術平均數,把ab叫做正數a,b的幾何平均數.
(2)不等式:當a,b是任意正實數時,a,b的幾何平均數不大于它們的算術平均數,即ab≤a+b2,當且僅當_______時,等號成立.
初試身手
1.不等式a2+1≥2a中等號成立的條件是( )
A.a=±1
B.a=1
C.a=-1
D.a=0
2.已知a,b∈(0,1),且a≠b,下列各式中最大的是( )
A.a2+b2
B.2ab
C.2ab
D.a+b
3.已知ab=1,a>0,b>0,則a+b的最小值為( )
A.1 B.2
C.4 D.8
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基本不等式PPT,第三部分內容:合作探究提素養
對基本不等式的理解
【例1】 給出下面四個推導過程:
①∵a、b為正實數,∴ba+ab≥2ba•ab=2;
②∵a∈R,a≠0,∴4a+a≥24a•a=4;
③∵x、y∈R,xy<0,∴xy+yx=--xy+-yx≤-2-xy-yx=-2.
其中正確的推導為( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
B [①∵a、b為正實數,∴ba、ab為正實數,符合基本不等式的條件,故①的推導正確.
②∵a∈R,a≠0,不符合基本不等式的條件,
∴4a+a≥24a•a=4是錯誤的.
③由xy<0,得xy、yx均為負數,但在推導過程中將整體xy+yx提出負號后,-xy、-yx均變為正數,符合均值不等式的條件,故③正確.]
規律方法
1.基本不等式ab≤a+b2 (a>0,b>0)反映了兩個正數的和與積之間的關系.
2.對基本不等式的準確掌握要抓住以下兩個方面:(1)定理成立的條件是a、b都是正數.(2)“當且僅當”的含義:當a=b時,ab≤a+b2的等號成立,即a=b⇒a+b2=ab;僅當a=b時,a+b2≥ab的等號成立,即a+b2=ab⇒a=b.
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基本不等式PPT,第四部分內容:當堂達標固雙基
1.思考辨析
(1)對任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2ab均成立.( )
(2)若a≠0,則a+1a≥2a•1a=2.( )
(3)若a>0,b>0,則ab≤a+b22.( )
[提示] (1)任意a,b∈R,有a2+b2≥2ab成立,當a,b都為正數時,不等式a+b≥2ab成立.
(2)只有當a>0時,根據基本不等式,才有不等式a+1a≥2a•1a=2成立.
(3)因為ab≤a+b2,所以ab≤a+b22.
2.設a>b>0,則下列不等式中一定成立的是( )
A.a-b<0
B.0<ab<1
C.ab<a+b2
D.ab>a+b
3.不等式9x-2+(x-2)≥6(其中x>2)中等號成立的條件是( )
A.x=3
B.x=-3
C.x=5
D.x=-5
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