《函數的表示法》函數的概念與性質PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.掌握函數的三種表示法:解析法、列表法、圖象法以及各自的優缺點.在解析法中尤其要掌握用換元和代入法求函數的解析式.
2.在實際問題中,能夠選擇恰當的表示法來表示函數.
3.能利用函數圖象求函數的值域,并確定函數值的變化趨勢.
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函數的表示法PPT，第二部分內容：自主學習
一、函數的表示法
1.(1)初中學過的3種常用的函數的表示方法是如何定義的?
提示:①解析法:用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系;②圖象法:用圖象表示兩個變量之間的對應關系;③列表法:列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.
(2)教材P60~P61問題1~問題4,分別是用什么方法表示函數的?
提示:問題1、2是用解析法,問題3是用圖象法,問題4是用列表法.
(3)函數的三種表示方法各有什么優缺點?
(4)做一做
某同學計劃買x(x∈{1,2,3,4,5})支2B鉛筆,每支鉛筆的價格為0.5元,共需y元,于是y與x之間建立起了一個函數關系.
①函數的定義域是什么?
提示:{1,2,3,4,5}
②y與x有何關系?
提示:y=0.5x
③試用表格表示y與x之間的關系.
提示:表格如下:
二、函數的圖象
1.(1)初中我們已研究過直線、反比例函數及二次函數的圖象,請作出y=2x-1,y= ,y=x2的圖象.觀察這些圖象有什么共同特點?
提示:共同的特點是由滿足一定條件的點構成的,具體地說就是將函數y=f(x)中的自變量x作為橫坐標、對應因變量y作為縱坐標描成點,所有的點即構成該函數的圖象.
(2)如何作出函數y=f(x)的圖象?
提示:將自變量的一個值x0作為橫坐標就得到坐標平面上的一個點(x0,f(x0)),自變量取遍函數定義域A的每個值時,就得到一系列這樣的點,所有這些點組成的集合(點集)為{(x,y)|y=f(x),x∈A},這些點組成的曲線就是函數y=f(x)的圖象.
(3)怎樣判斷一個圖象所表示的是不是y關于x的某個函數?
提示:任作垂直于x軸的直線,若此直線與圖象至多有一個交點,則圖象即為某個函數的圖象.
(4)如何由函數圖象確定其定義域和值域?
提示:圖象在x軸上的投影所表示的區間為定義域,在y軸上的投影所表示的區間為值域.
2.做一做
下列圖形可表示函數y=f(x)圖象的只可能是( )
答案:D
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函數的表示法PPT，第三部分內容：探究學習
列表法表示函數
例1 (一題多空題)已知函數f(x),g(x)分別由下表給出:
則f(g(1))=____;當g(f(x))=2時,x=____.
分析:這是用列表法表示的函數求值問題,在解答時,找準變量對應的值即可.
解析:由g(x)的對應表,知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3).
由f(x)的對應表,知f(3)=1,∴f(g(1))=f(3)=1.
由g(x)的對應表,知當x=2時,g(2)=2.
又g(f(x))=2,∴f(x)=2.又由f(x)的對應表,知當x=1時,f(1)=2.∴x=1.
答案:1 1
反思感悟 列表法是表示函數的重要方法,這如同我們在畫函數圖象時所列的表,它的明顯優點是變量對應的函數值在表中可直接找到,不需要計算.
延伸探究在本例已知條件下,g(f(1))=________;當f(g(x))=2時,x=________.
解析:∵f(1)=2,∴g(f(1))=g(2)=2.
∵f(g(x))=2,∴g(x)=1,∴x=3.
答案:2 3
求函數的解析式
例2 (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);
(2)已知f(x)是二次函數,且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;
(3)已知函數f(x)對于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).
分析:(1)(方法一)令x+1=t,將x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即可得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的地位與f(x)中x的地位相同,因此還可以將f(x+1)變形為f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6.(2)設出f(x)=ax2+bx+c(a≠0),再根據條件列出方程組求出a,b,c的值.(3)將f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-x代替,解關于f(x)與f(-x)的方程組即可.
解:(1)(方法一)令x+1=t,則x=t-1.
將x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,
得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(2)設所求的二次函數為f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1,∴c=1,則f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x對任意的x∈R都成立,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
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函數的表示法PPT，第四部分內容：思維辨析
因忽略變量的實際意義而致錯
典例如圖,在矩形ABCD中,BA=3,CB=4,點P在AD上移動,CQ⊥BP,Q為垂足.設BP=x,CQ=y,試求y關于x的函數表達式,并畫出函數的圖象.
錯解由題意,得△CQB∽△BAP,
所以CQ/BA=CB/BP,
即y/3=4/x.
所以y=12/x.
故所求的函數表達式為y=12/x,其圖象如圖所示.
以上解題過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:以上解題過程中沒有考慮x的實際意義,從而擴大了x的取值范圍而導致出錯.
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函數的表示法PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.已知一次函數的圖象過點(1,0)和(0,1),則該一次函數的解析式為( )
A.f(x)=-x B.f(x)=x-1
C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x+1
解析:設f(x)=ax+b(a≠0),則有{■(a+b=0"," @b=1"," )┤
所以a=-1,b=1,即f(x)=-x+1.
答案:D
2.某天早上,小明騎車上學,出發時感到時間較緊,然后加速前進,后來發現時間還比較充裕,于是放慢了速度,與以上事件吻合得最好的圖象是( )
解析:因為選項A,D第一段都是勻速前進,不合題意,故排除選項A,D,首先加速前進,然后放慢速度,說明圖象上升的速度先快后慢,故選C.
答案:C
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