《分段函數》函數的概念與性質PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.了解分段函數的概念.
2.會求分段函數的函數值,能畫出分段函數的圖象.
3.能在實際問題中列出分段函數,并能解決有關問題.
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分段函數PPT，第二部分內容：自主預習
分段函數
1.(1)教材P68例5,在畫函數圖象時,將函數y=|x|化簡得到
y={■(x"," x≥0"," @"-" x"," x<0"." )┤這個函數有什么特點?
提示:當x≥0和x<0時,這個函數表達式不一樣,也就是對應關系不同.
(2)作出函數y=2x(x∈R)的圖象,再作出y=x2(x∈R)的圖象.把這兩個圖象放在同一個直角坐標系中還能表示函數圖象嗎?
提示:函數y=2x(x∈R)和y=x2(x∈R)合起來不能表示函數圖象,因為取某個x值時,y值不一定唯一.
(3)在同一個直角坐標系中分別畫出函數y=2x(x<0)和y=x2(x≥0)的圖象,這兩個函數圖象合起來還能表示函數圖象嗎?如何寫它的解析式?
提示:可以表示函數圖象,因為符合函數定義,解析式可寫為
y={■(2x"," x<0"," @x^2 "," x≥0"." )┤
(4)類似y={■(x"," x≥0"," @"-" x"," x<0)┤和y={■(2x"," x<0"," @x^2 "," x≥0)┤的函數叫分段函數.分段函數是一個函數還是兩個函數?
提示:不管分段函數分了幾段,它都是一個函數,不要把它誤認為是幾個函數.
(5)請舉出幾個實際生活中分段函數的例子.
提示:實際生活中,出租車的計費、電信資費、個人所得稅額等均是分段函數.
2.填空
如果函數y=f(x),x∈A,根據自變量x在A中不同的取值范圍,有著不同的對應關系,則稱這樣的函數為分段函數.
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分段函數PPT，第三部分內容：探究學習
求分段函數的求值
例1已知函數f(x)={■(x+2"," x<0"," @x^2 "," 0≤x<2"," @1/2 x"," x≥2"," )┤
(1)求f(f(f("-" 1/2)))的值;
(2)若f(x)=2,求x的值.
(2)分別令x+2=2,x2=2,1/2x=2,分段求x并驗證.
反思感悟 1.求分段函數的函數值的步驟
(1)先確定所求值對應的自變量屬于哪一段區間.
(2)再代入該段對應的解析式進行求值,直到求出值為止.當出現f(f(x0))的形式時,應從內到外依次求值.
2.已知函數值求自變量取值的步驟
(1)先確定自變量,可能存在的區間及其對應的函數解析式.
(2)再將函數值代入到不同的解析式中.
(3)通過解方程求出自變量的值.
(4)檢驗所求的值是否在所討論的區間內.
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分段函數PPT，第四部分內容：思想方法
利用數形結合思想求方程根的個數
典例 對于m不同的取值范圍,討論方程x2-4|x|+5=m的實根的個數.
分析:可考慮給定方程左側對應函數的圖象,即畫出函數y=x2-4|x|+5的圖象,看圖象與直線y=m的交點個數的變化便可得出結論.
解:將方程x2-4|x|+5=m實根的個數問題轉化為函數y=x2-4|x|+5的圖象與直線y=m的交點個數問題.
y=x2-4|x|+5={■(x^2 "-" 4x+5"," x≥0"," @x^2+4x+5"," x<0"," )┤
作出圖象,如圖所示.
當m<1時,直線y=m與該圖象無交點,故方程無解.
當m=1時,直線y=m與該圖象有兩個交點,
故方程有兩個實根.
當1<m<5時,直線y=m與該圖象有四個交點,
故方程有四個實根.
當m=5時,直線y=m與該圖象有三個交點,
故方程有三個實根.
當m>5時,直線y=m與該圖象有兩個交點,
故方程有兩個實根.
反思感悟 本題通過構造函數,利用數形結合的思想,直觀形象地通過圖象得出實數根的個數.但要注意這種方法一般只求根的個數,不需知道實數根的具體數值.
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分段函數PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.已知f(x)={■(x^2 "," x>0"," @π"," x=0"," @0"," x<0"," )┤則f(f(-3))等于( )
A.0B.πC.π2D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
2.函數f(x)=x+("|" x"|" )/x的圖象是( )
解析:f(x)=x+("|" x"|" )/x={■(x+1"," x>0"," @x"-" 1"," x<0)┤是分段函數.
答案:C
3.某客運公司確定客票價格的方法是:如果行程不超過100千米,票價是每千米0.5元,如果超過100千米,超過部分按每千米0.4元定價,則客運票價y(元)與行程千米數x(千米)之間的函數關系式是_____.
解析:根據行程是否大于100千米來求出解析式.
答案:y={■(0"." 5x"," 0≤x≤100"," @10+0"." 4x"," x>100)┤
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