《簡單的三角恒等變換》三角函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.能用二倍角公式推導半角的正弦、余弦、正切公式.
2.理解半角的正弦、余弦和正切公式.
3.會用倍角公式和半角公式進行三角函數的求值、化簡和證明.
4.理解三角函數的積化和差與和差化積公式的推導過程.
5.能利用積化和差與和差化積公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值和證明.
6.學會初步運用“輔助角”公式來化簡三角函數式,進而研究函數圖象和性質,并能明確輔助角公式的使用條件.
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簡單的三角恒等變換PPT，第二部分內容：自主預習
一、半角公式
1.二倍角公式是用單角α的三角函數來表示倍角2α的三角函數,根據倍角關系的相對性,能否用單角α的三角函數來表示α/2的三角函數呢?
提示:由倍角公式可得sin2α/2=(1"-" cosα)/2,cos2α/2=(1+cosα)/2,開方即可得到sin α/2,cos α/2用cos α來表示的表達式.
2.填空
(半角公式)
(1)sin α/2=±√((1"-" cosα)/2) ("符號由" α/2 "角所在的象限決定" );
(2)cos α/2=±√((1+cosα)/2) ("符號由" α/2 "角所在的象限決定" );
(3)tan α/2=±√((1"-" cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1"-" cosα)/sinα
("符號由" α/2 "角所在的象限決定" ).
二、積化和差、和差化積公式
1.(1)積化和差公式有何特點?
提示:積化和差公式中:同名三角函數之積化為兩角和與差余弦和(差)的一半,異名三角函數之積化為兩角和與差正弦和(差)的一半,等式左邊為單角α,β,等式右邊為它們的和與差.
(2)積化和差公式右側系數都為1/2嗎?
提示:否.如sin αsin β=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)].
(3)和差化積公式有何特點?
提示:余弦的和或差化為同名三角函數之積;正弦的和或差化為異名三角函數之積;等式左邊為單角x與y,等式右邊為(x+y)/2 與 (x"-" y)/2的形式.
2.填空
(1)cos αcos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)];
sin αsin β=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)];
sin αcos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)];
cos αsin β=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)].
(2)sin x+sin y=2sin(x+y)/2cos(x"-" y)/2;
sin x-sin y=2cos(x+y)/2sin(x"-" y)/2;
cos x+cos y=2cos(x+y)/2cos(x"-" y)/2;
cos x-cos y=-2sin(x+y)/2sin(x"-" y)/2.
3.做一做
計算:(1)sin 52.5°cos 7.5°=___________;
(2)sin αsin 3α=___________.
答案:(1)(√3+√2)/4 (2)1/2cos 2α-1/2cos 4α
4.判斷正誤
(1)sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ.( )
(2)cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ.( )
(3)sin 3θ-sin 5θ=-1/2cos 4θcos θ. ( )
(4)sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ. ( )
(5)sin xsin y=1/2[cos(x-y)-cos(x+y)]. ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
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簡單的三角恒等變換PPT，第三部分內容：探究學習
半角公式的應用
角度1 用半角公式解決求值問題
例1已知5π/2<θ<3π,且sin θ=24/25,求sin θ/2,cos θ/2,tan θ/2,cos θ/4的值.
分析:先由sin θ的值求出cos θ的值,再套用半角公式求出sin θ/2,cos θ/2,tan θ/2的值,再將θ/4視為θ/2的一半,繼續利用半角公式求出cos θ/4的值.
解:因為5π/2<θ<3π,且sin θ=24/25,
所以cos θ=-√(1"-" sin^2 θ)=-7/25.于是5π/4<θ/2<3π/2,
故sin θ/2=-√((1"-" cosθ)/2)=-√(1"-" ("-" 7/25)/2)=-4/5,
cos θ/2=-√((1+cosθ)/2)=-√((1+("-" 7/25))/2)=-3/5,
tan θ/2=(sin" " θ/2)/(cos" " θ/2)=4/3.
又因為5π/8<θ/4<3π/4,所以cos θ/4=-√((1+cos" " θ/2)/2)=-√((1+("-" 3/5))/2)=-√5/5.
反思感悟 已知θ的某個三角函數值,求 的三角函數值的步驟是:(1)利用同角三角函數基本關系式求得θ的其他三角函數值;(2)代入半角公式計算.
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簡單的三角恒等變換PPT，第四部分內容：思維辨析
忽視對角的討論致誤
典例 若2sin θ=1+cos θ,則tan θ/2的值等于( )
A.1/2 B.1/2或不存在
C.2 D.2或1/2
錯解由已知得sinθ/(1+cosθ)=1/2,即tan θ/2=1/2.故選A.
提示:錯解中,由2sin θ=1+cos θ得出sinθ/(1+cosθ)=1/2時,忘記了討論1+cos θ=0的情況,導致錯誤.
正解:若1+cos θ=0,則cos θ=-1,θ=(2k+1)π,k∈Z,此時θ/2=kπ+π/2(k∈Z),則tan θ/2不存在;若1+cos θ≠0,則tan θ/2=sinθ/(1+cosθ)=1/2.
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簡單的三角恒等變換PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.設5π<θ<6π,cos θ/2=a,則sin θ/4等于( )
A.√(1+a)/2 B.√(1"-" a)/2 C.-√((1+a)/2) D.-√((1"-" a)/2)
解析:若5π<θ<6π,則5π/4<θ/4<3π/2,則sin θ/4=-√((1"-" cos" " θ/2)/2)=-√((1"-" a)/2).
答案:D
2.化簡√(2+cos2"-" sin^2 1)的結果是( )
A.-cos 1 B.cos 1 C.√3cos 1 D.-√3cos 1
解析:原式=√(2+1"-" 2sin^2 1"-" sin^2 1)=√(3"-" 3sin^2 1)=√(3"(" 1"-" sin^2 1")" )=√(3cos^2 1)=√3cos 1.
答案:C
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