《函數y=Asin(ωx+φ)》三角函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.理解勻速圓周運動數學模型的特點,并能用數學模型解決一些相關的實際問題.
2.會用“五點法”作函數y=Asin(ωx+φ)的圖象.
3.理解參數A,ω,φ對函數y=Asin(ωx+φ)圖象的影響.
4.掌握函數y=Asin(ωx+φ)與y=sin x圖象之間的關系,能夠將y=sin x的圖象通過變換得到函數y=Asin(ωx+φ)的圖象.
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函數y=Asin(ωx+φ)PPT，第二部分內容：自主預習
一、勻速圓周運動數學模型
1.填空
(1)三角函數數學模型在模擬一些周期現象時應用十分廣泛,但一般都能概括為y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式.
(2)三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型,可以用來研究很多問題,在刻畫周期規律、預測未來方面發揮著重要作用.
2.做一做
如圖,點P是半徑為r的砂輪邊緣上的一個質點,它從初始位置P0開始,按逆時針方向以角速度ω(rad/s)做圓周運動,則點P的縱坐標y關于時間t的函數關系式為__________
解析:當質點P從P0轉到點P位置時,點P轉過的角度為ωt,
則∠POx=ωt+φ,由任意角的三角函數定義知點P的縱坐標y=rsin(ωt+φ).
答案:y=rsin(ωt+φ)
3.判斷正誤
(1)三角函數是描述現實世界中周期變化現象的重要函數模型. ( )
(2)與周期有關的實際問題都必須用三角函數模型解決. ( )
答案:(1)√ (2)×
二、圖象變換
1.φ對函數y=sin(x+φ),x∈R的圖象的影響
(1)在同一平面直角坐標系中,用“五點法”作出函數y=sin(x+π/3)與y=sin(x"-" π/4)的圖象,從表中所列變量的值以及畫出的圖象兩個方面進行觀察分析,y=sin(x+φ)的圖象與y=sin x的圖象之間有什么關系?
提示:y=sin(x+φ)的圖象可以由函數y=sin x的圖象經過左右平移|φ|個單位得到.
(2)填空
如圖,函數y=sin(x+φ)(φ≠0)的圖象,可以看作是把y=sin x的圖象上所有的點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平行移動|φ|個單位長度得到的.
(3)做一做
將函數y=sin x的圖象向右平移π/5個單位,可以得到函數( )的圖象.
A.y=sin(x+π/5) B.y=sin(x"-" π/5)
C.y=sin(π/5 "-" x) D.y=sin(5x"-" π/5)
解析:將函數y=sin x的圖象向右平移π/5個單位,可以得到函數y=sin(x"-" π/5)的圖象.
2.ω(ω>0)對函數y=sin(ωx+φ)的圖象的影響
(1)在同一平面直角坐標系中,用“五點法”作出函數y=sin 2x與y=sin x的圖象,從列表中變量的值以及畫出的圖象兩個方面進行觀察分析,y=sin(ωx+φ)的圖象與y=sin(x+φ)的圖象之間有什么關系?
提示:y=sin(ωx+φ)的圖象可以由函數y=sin(x+φ)的圖象經過左右伸縮變換得到.
(2)填空
如圖,函數y=sin(ωx+φ)的圖象,可以看作是把y=sin(x+φ)的圖象上所有點的橫坐標縮短(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的 倍(縱坐標不變)而得到.
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函數y=Asin(ωx+φ)PPT，第三部分內容：探究學習
勻速圓周運動的數學模型
例1一個大風車的半徑為6 m,12 min旋轉一周,它的最低點P0離地面2 m,風車翼片的一個端點P從P0開始按逆時針方向旋轉,則點P離地面距離h(m)與時間m(min)之間的函數關系式是( )
A.h(t)=-6sinπ/6t+6 B.h(t)=-6cosπ/6t+6
C.h(t)=-6sinπ/6t+8 D.h(t)=-6cosπ/6t+8
分析:由題意可設h(t)=Acos ωt+B,根據周期性 =12,由最大值與最小值分別為14,2,即可得出.
解析:設h(t)=Acos ωt+B,
∵12 min旋轉一周,∴2π/ω=12,∴ω=π/6.
由于最大值與最小值分別為14,2,
∴{■("-" A+B=14"," @A+B=2"," )┤解得{■(A="-" 6"," @B=8"." )┤∴h(t)=-6cosπ/6t+8.
答案:D
反思感悟 勻速圓周運動的數學模型一般都歸結為正弦型或余弦型函數形式.此類問題的切入點是初始位置及其半徑、頻率的值要明確,半徑決定了振幅A,頻率或周期能確定ω,初始位置不同對φ有影響.還要注意最大值與最小值與函數中參數的關系.
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函數y=Asin(ωx+φ)PPT，第四部分內容：思維辨析
三角函數圖象平移變換規則不清致誤
典例 為了得到y=sin 1/2x的圖象,只需要將y=sin(1/2 x"-" π/6)的圖象( )
A.向左平移π/6個單位 B.向右平移π/6個單位
C.向左平移π/3個單位 D.向右平移π/3個單位
錯解由y=sin1/2x的圖象得y=sin(1/2 x"-" π/6)的圖象時,∵φ=-π/6,∴向左平移π/6個單位.故選A.
錯解錯在什么地方?你能發現嗎?怎樣避免這類錯誤呢?
提示:錯解中有3個錯誤點:①審題不清,沒有弄清楚哪一個函數圖象移動變換得另一個函數圖象.②平移方向上應該是“左加右減”,在錯解中,由y=sin1/2x得y=sin(1/2 x"-" π/6)的圖象時應該向右平移.③平移的單位長度由于忽視了x的系數導致錯誤.
正解:∵y=sin(1/2 x"-" π/6)=sin1/2 (x"-" π/3),
∴當由y=sin(1/2 x"-" π/6)的圖象得y=sin1/2x的圖象時,應該是向左平移π/3個單位.
答案:C
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函數y=Asin(ωx+φ)PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.將函數y=sin x+π/6 的圖象上所有的點向左平移π/4個單位長度,再把圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變),則所得圖象的解析式為( )
A.y=sin 2x+5π/12 B.y=sin x/2+5π/12
C.y=sin x/2-π/12 D.y=sin x/2+5π/24
解析:平移后得解析式為y=sin x+π/4+π/6 =sin x+5π/12 ,再把圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍得解析式為y=sin x/2+5π/12 ,故選B.
答案:B
2.將函數y=sin 2x的圖象向右平移π/2個單位長度,所得圖象對應的函數是( )
A.奇函數 B.偶函數
C.既是奇函數又是偶函數 D.非奇非偶函數
解析:y=sin 2x的圖象向右平移π/2個單位長度得到函數y=sin[2(x"-" π/2)]=sin(2x-π)=-sin(π-2x)=-sin 2x的圖象.因為-sin(-2x)=sin 2x,所以是奇函數.
答案:A
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