《習題課 基本不等式的應用》一元二次函數、方程和不等式PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.能夠利用基本不等式求函數的最值和代數式的最值.
2.能夠利用基本不等式解決實際問題中的最值問題.
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習題課基本不等式的應用PPT，第二部分內容：自主預習
利用基本不等式求函數、代數式,及實際問題中的最值
1.(1)基本不等式√ab≤(a+b)/2應用的條件是什么?
提示:一正二定三相等,即:①a,b均為正數;②a+b和ab中有一個為定值;③不等式中的等號必須能取到.
(2)已知(a+b)/2≥√ab,其中a>0,b>0,若ab為常數P,那么a+b的值如何變化?
(3)若a+b為常數S,那么ab的值如何變化?
提示:當且僅當a=b時,ab有最大值1/4S2.
2.填空
公式的等價變形:ab≤(a^2+b^2)/2,ab≤ (a+b)/2 2.
3.做一做
(1)函數f(x)=x+ (x<0)的最大值為________;
(2)若正數a,b滿足2a+3b=8,則ab的最大值是________.
解析:(1)由于x<0,所以f(x)=x+9/x=-["(-" x")" +("-" 9/x)]≤-2√("(-" x")•" ("-" 9/x) )=-6,當且僅當-x=-9/x,即x=-3時,函數取最大值-6.
(2)由于a,b>0,所以ab=1/6•2a•3b≤1/6•((2a+3b)/2)^2=8/3,當且僅當2a=3b,即a=2,b=4/3時,ab取最大值8/3.
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習題課基本不等式的應用PPT，第三部分內容：探究學習
探究一利用基本不等式求函數和代數式的最值
1.通過變形后應用基本不等式求最值
例1求下列函數的最值,并求出相應的x值.
(1)y=x+1/2x(x<0);
(2)y=1/(x"-" 3)+x(x>3);
(3)y=x(1-3x) 0<x<1/3 .
解:(1)y=x+1/2x=- (-x)+1/(2"(-" x")" ) ≤-2√("(-" x")•" 1/(2"(-" x")" ))=-√2,當且僅當x=1/2x(x<0),即x=-√2/2時,y取最大值-√2.
(2)y=1/(x"-" 3)+x=1/(x"-" 3)+(x-3)+3≥2√(1/(x"-" 3) "•(" x"-" 3")" )+3=5,當且僅當1/(x"-" 3)=x-3(x>3),即x=4時,y取最小值5.
(3)y=x(1-3x)=1/3×3x(1-3x)≤1/3× (3x+"(" 1"-" 3x")" )/2 2=1/12,當且僅當3x=1-3x,即x=1/6時,y取最大值1/12.
反思感悟 利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件.解題時應對照已知條件和欲求的式子,運用適當的“拆項、添項、配湊、變形”等方法創設使用基本不等式的條件,具體可以歸納為:一不正,用其相反數,改變不等號方向;二不定,應湊出定和或定積;三不等,一般需用其他方法,如嘗試利用函數的單調性(在第三章學習).
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習題課基本不等式的應用PPT，第四部分內容：隨堂演練
1.函數y=2x(2-x)(其中0<x<2)的最大值是( )
A.1/4 B.1/2 C.1 D.2
解析:∵0<x<2,∴y=2x(2-x)≤2 (x+2"-" x)/2 2=2,當且僅當x=2-x,即x=1時取等號,函數的最大值是2.
答案:D
2.設x>0,y>0,x+y=4,則1/x+4/y的最小值為_______.
解析:∵x+y=4,∴1/x+4/y=1/4 1/x+4/y (x+y)=1/4 5+y/x+4x/y ,
又x>0,y>0,則y/x+4x/y≥2√(y/x "•" 4x/y)=4 當且僅當y/x=4x/y時取等號 ,
則1/x+4/y≥1/4×(5+4)=9/4.
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