《章末整合》一元二次函數、方程和不等式PPT
第一部分內容：深化提升
專題一 用基本不等式求最值
例1已知函數y=x+m/(x"-" 1)(m>0).
(1)若m=1,求當x>1時函數的最小值;
(2)當x<1時,函數有最大值-3,求實數m的值.
分析:(1)由函數的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)當x<1時,x-1<0,仍可用基本不等式求最值,利用等號成立的條件求參數m的值.
解:(1)當m=1時,y=x+1/(x"-" 1)=x-1+1/(x"-" 1)+1.
∵x>1,∴x-1>0.
∴y=x-1+1/(x"-" 1)+1≥2√("(" x"-" 1")•" 1/(x"-" 1))+1=3,
當且僅當x-1=1/(x"-" 1),即x=2時取等號,
所以當x>1時函數的最小值為3.
(2)∵x<1,∴x-1<0,∴y=x-1+m/(x"-" 1)+1=- 1-x+m/(1"-" x) +1≤-2√("(" 1"-" x")•" m/(1"-" x))+1=-2√m+1,
當且僅當1-x=m/(1"-" x),即x=1-√m時取等號,即函數的最大值為-2√m+1,
所以-2√m+1=-3,解得m=4.
方法技巧 應用基本不等式求最值的技巧
1.應用基本不等式求最值,必須按照“一正、二定、三相等”的條件進行,若具備這些條件,可直接運用基本不等式,若不具備這些條件,則應進行適當的變形.
2.利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件.解題時應對照已知條件和欲求的式子,運用適當的“拆項、添項、配湊、變形”等方法創設使用基本不等式的條件,具體可以歸納為:一不正,用其相反數,改變不等號方向;二不定,應湊出定和或定積;三不等,一般需用其他方法,如嘗試利用函數的單調性.(將在下章中學習)
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