《二次函數與一元二次方程、不等式》一元二次函數、方程和不等式PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.了解一元二次不等式的現實意義.
2.能夠借助一元二次函數求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函數的圖象,了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系.
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二次函數與一元二次方程不等式PPT，第二部分內容：自主預習
一、一元二次不等式的概念
1.從未知數的個數以及未知數的最高次數看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特點?
提示:它們只含有一個未知數,且未知數的最高次數是2.
2.填空
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念:我們把只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的不等式,稱為一元二次不等式.
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解,一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.
3.做一做
已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④ >0.其中是一元二次不等式的個數為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①中當a=0時,它不是一元二次不等式;②中有兩個未知數,它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.
答案:A
二、一元二次不等式的解法
1.(1)什么叫二次函數y=ax2+bx+c的零點?零點是點嗎?
提示:把使ax2+bx+c=0的實數x叫做二次函數y=ax2+bx+c的零點.零點不是點,是一個實數.零點就是函數對應方程的根.
(2)二次函數y=x2-5x的圖象如圖所示.
當x為何值時,y=0?當x為何值時,y<0?當x為何值時,y>0.
上述各種情況下函數圖象與x軸有什么關系?
提示:當x=0或x=5時,y=0.此時圖象與x軸交于兩個點(0,0)和(5,0);
當0<x<5時,y<0,函數圖象位于x軸下方,此時x2-5x<0;
當x<0或x>5時,y>0.此時函數圖象位于x軸上方,此時x2-5x>0.
(3)對任意的一元二次不等式,求解集的關鍵點有哪些?
提示:①拋物線y=ax2+bx+c與x軸的位置情況,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況;②拋物線y=ax2+bx+c的開口方向,也就是a的正負.
(4)拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸的相關位置有哪些情況?如何用一元二次方程來說明這些位置關系?
提示:拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸可能有兩個交點(相交),一個交點(相切),沒有交點(相離).可以通過對應一元二次方程的判別式Δ與0的關系來判斷.
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二次函數與一元二次方程不等式PPT，第三部分內容：探究學習
一元二次不等式的求解
例1解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
分析:先求出對應一元二次方程的解,再結合對應的二次函數的圖象寫出不等式的解集.
解:(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-1/2,x2=2.
因為對應函數的圖象是開口向上的拋物線,
所以原不等式的解集是{x├|x<"-" 1/2 "或" x>2}┤.
(2)不等式可化為3x2-6x+2<0.
因為3x2-6x+2=0的判別式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-√3/3,x2=1+√3/3.
因為函數y=3x2-6x+2的圖象是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集是{x├|1"-" √3/3<x<1+√3/3}┤.
(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=1/2,函數y=4x2-4x+1的圖象是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集是{x├|x=1/2}┤.
(4)因為x2-2x+2=0的判別式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0無解.又因為函數y=x2-2x+2的圖象是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集為R.
反思感悟 解不含參數的一元二次不等式的一般步驟
(1)化標準.通過對不等式的變形,使不等式的右側為0,使二次項系數為正.
(2)判別式.對不等式的左側進行因式分解,若不能分解,則計算對應方程的判別式.
(3)求實根.求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程無實根.
(4)畫草圖.根據一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數的草圖.
(5)寫解集.根據圖象寫出不等式的解集.
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二次函數與一元二次方程不等式PPT，第四部分內容：思維辨析
求不等式恒成立問題中參數范圍的常見方法
1.利用一元二次方程根的判別式解一元二次不等式在R上的恒成立問題.
設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則
f(x)>0恒成立⇔{■(a>0"," @Δ<0"," )┤f(x)≥0恒成立⇔{■(a>0"," @Δ≤0"," )┤
f(x)<0恒成立⇔{■(a<0"," @Δ<0"," )┤f(x)≤0恒成立⇔{■(a<0"," @Δ≤0"." )┤
當未說明不等式為一元二次不等式時,有
(1)不等式ax2+bx+c>0對任意實數x恒成立⇔{■(a=b=0"," @c>0)┤或{■(a>0"," @Δ<0";" )┤
(2)不等式ax2+bx+c<0對任意實數x恒成立⇔{■(a=b=0"," @c<0)┤或{■(a<0"," @Δ<0"." )┤
2.分離自變量和參變量,利用等價轉化思想將原問題轉化為求函數的最值問題.
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二次函數與一元二次方程不等式PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.不等式x2-9<0的解集為( )
A.{x|x<-3} B.{x|x<3}
C.{x|x<-3或x>3} D.{x|-3<x<3}
解析:由x2-9<0,可得x2<9,解得-3<x<3.
答案:D
2.若不等式4x2+ax+4>0的解集為R,則實數a的取值范圍是( )
A.(-16,0) B.(-16,0]
C.(-∞,0) D.(-8,8)
解析:不等式4x2+ax+4>0的解集為R,∴Δ=a2-4×4×4<0,解得-8<a<8,∴實數a的取值范圍是(-8,8),故選D.
答案:D
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