《函數的最大(小)值》函數的概念與性質PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.理解函數的最大值和最小值的概念及其幾何意義.
2.能借助函數的圖象和單調性,求一些簡單函數的最值(或值域).
3.能利用函數的最值解決有關的實際應用問題.
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函數的最大(小)值PPT，第二部分內容：自主預習
一、函數的最大(小)值的定義
1.(1)如圖所示是函數y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的圖象,這三個函數的圖象上有沒有最高點?
提示:都有最高點,分別為點A、B、C.
(2)從點的坐標角度,如何理解函數圖象的最高點?
提示:圖象最高點的縱坐標是所有函數值中的最大值,即函數的最大值.
(3)如圖③所示,圖象上最高點C的坐標為(x0,f(x0)),在圖象上任取一點A(x,f(x)),f(x)與f(x0)有什么關系?
提示:點C是圖象的最高點,即對定義域內任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.
(4)一般地,設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足:①對∀x∈I,都有f(x)≤M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M,那么我們就稱M是函數y=f(x)的最大值.
其幾何意義:函數y=f(x)的最大值是圖象最高點的縱坐標.
(5)類比函數最大值的定義,請你給出最小值的定義及其幾何意義.
提示:一般地,設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足:
①∀x∈I,都有f(x)≥M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M.那么,稱M是函數y=f(x)的最小值.
函數最小值的幾何意義:函數圖象上最低點的縱坐標.
(6)是否每個函數都有最大值、最小值?如果有最值,取最值的點有幾個?舉例說明.
提示:一個函數不一定有最值,例如y= 在定義域內沒有最大值也沒有最小值.有的函數可能只有一個最大(或小)值,例如y=-2x+1,x∈[-1,+∞).如果一個函數存在最值,那么函數的最大值和最小值都是唯一的,但取最值時的自變量可以有多個,如y=x2,x∈[-2,2],最大值只有一個為4,而取最大值的x有x=±2兩個.
2.做一做
已知函數f(x)在[-2,2]上的圖象如圖所示,則該函數的最小值、最大值分別是( )
A.f(-2),0 B.0,2
C.f(-2),2 D.f(2),2
解析:由題圖可知,該函數的最小值為f(-2),最大值為f(1)=2.
答案:C
二、函數的單調性與最大(小)值
1.(1)若函數y=f(x)在區間[a,b]上是增函數或減函數,它一定有最值嗎?如果有,最值是什么?
提示:若函數y=f(x)在區間[a,b]上是增函數,則函數的最小值為ymin=f(a),最大值為ymax=f(b);若函數y=f(x)在區間[a,b]上是減函數,則函數的最小值為ymin=f(b),最大值為ymax=f(a).
(2)若函數y=f(x)在區間(a,b)上是增(或減)函數,這個函數有最值嗎?
活動方案:啟發學生畫一個符合條件的函數草圖,注意端點不在區間內,然后回答.
提示:不存在最值,但可以說函數y=f(x)在區間(a,b)上的值域為(f(a),f(b))[或(f(b),f(a))].
(3)已知函數y=f(x)的定義域是[a,b],a<c<b.當x∈[a,c]時,f(x)是單調增函數;當x∈[c,b]時,f(x)是單調減函數.試證明:f(x)在x=c時取得最大值.
提示:因為當x∈[a,c]時,f(x)是單調增函數,所以對于任意x∈[a,c],都有f(x)≤f(c).又因為當x∈[c,b]時,f(x)是單調減函數,所以對于任意x∈[c,b],都有f(x)≤f(c).因此,對于任意x∈[a,b]都有f(x)≤f(c),即f(x)在x=c時取得最大值.
2.做一做
函數y=x2-4x+1在[-2,0]上的最大值是___________,最小值是___________.
解析:函數y=x2-4x+1在[-2,0]上單調遞減,故當x=2時,ymax=13,當x=0時,ymin=1.
答案:13 1
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函數的最大(小)值PPT，第三部分內容：探究學習
利用函數的圖象求函數的最值
例1 已知函數y=-|x-1|+2,畫出函數的圖象,確定函數的最值情況,并寫出值域.
分析:去絕對值→分段函數→作圖→識圖→結論.
解:y=-|x-1|+2={■(3"-" x"," x≥1"," @x+1"," x<1"," )┤函數圖象如圖所示.
由圖象知,函數y=-|x-1|+2的最大值為2,沒有最小值.所以其值域為(-∞,2].
變式訓練1已知函數f(x)={■(1/x "," 0<x<1"," @x"," 1≤x≤2"." )┤
(1)畫出f(x)的圖象;
(2)利用圖象寫出該函數的最大值和最小值.
解:(1)函數f(x)的圖象如圖所示.
(2)由圖象可知f(x)的最小值為f(1)=1,無最大值.
利用函數的單調性求最值
例2 已知函數f(x)=x+ .
(1)判斷f(x)在區間[1,2]上的單調性;
(2)根據f(x)的單調性求出f(x)在區間[1,2]上的最值.
分析:(1)證明單調性的流程:取值→作差→變形→判斷符號→結論;
(2)借助最值與單調性的關系,寫出最值.
反思感悟 1.利用單調性求函數最值的一般步驟:
(1)判斷函數的單調性;(2)利用單調性寫出最值.
2.函數的最值與單調性的關系:
(1)若函數f(x)在區間[a,b]上是增(減)函數,則f(x)在區間[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函數f(x)在區間[a,b]上是增(減)函數,在區間(b,c]上是減(增)函數,則f(x)在區間[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個.
(3)若函數f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線,則函數f(x)在區間[a,b]上一定有最值.
(4)求最值時一定要注意所給區間的開閉,若是開區間,則不一定有最大(小)值.
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函數的最大(小)值PPT，第四部分內容：思想方法
利用數形結合思想與分類討論思想求二次函數的最值
典例 求函數y=x2-2ax-1在區間[0,2]上的最值.
【審題視角】可變對稱軸x=a→與定區間[0,2]的 相對位置關系→結合單調性與圖象求解
解:y=(x-a)2-1-a2.
當a<0時,[0,2]是函數的遞增區間,如圖①.
故函數在x=0處取得最小值-1,
在x=2處取得最大值3-4a.
當0≤a≤1時,結合函數圖象(如圖②)知,
函數在x=a處取得最小值-a2-1,
在x=2處取得最大值3-4a.
當1<a≤2時,結合圖象(如圖③)知,
函數在x=a處取得最小值-a2-1,
在x=0處取得最大值-1.
當a>2時,[0,2]是函數的遞減區間,如圖④.
函數在x=0處取得最大值-1,在x=2處取得最小值3-4a.
綜上,當a<0時,函數在區間[0,2]上的最小值為-1,最大值為3-4a;
當0≤a≤1時,函數在區間[0,2]上的最小值為-a2-1,最大值為3-4a;
當1<a≤2時,函數在區間[0,2]上的最小值為-a2-1,最大值為-1;
當a>2時,函數在區間[0,2]上的最小值為3-4a,最大值為-1.
方法點睛 1.探求二次函數在給定區間上的最值問題,一般要先作出y=f(x)的草圖,再根據圖象的增減性進行研究.特別要注意二次函數圖象的對稱軸與所給區間的位置關系,它是求解二次函數在已知區間上最值問題的主要依據.二次函數圖象的對稱軸與所給區間的位置關系通常有三種:(1)對稱軸在所給區間的右側;(2)對稱軸在所給區間的左側;(3)對稱軸在所給區間內.
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函數的最大(小)值PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.函數y=2/x在區間[2,4]上的最大值、最小值分別是 ( )
A.1,1/2 B.2,1 C.1/2,1/4 D.2,1/2
解析:因為函數y=2/x在區間[2,4]上是減函數,所以其最大值、最小值分別是2/2=1,2/4=1/2.故選A.
答案:A
2.函數y=|x+1|+2的最小值是( )
A.0 B.-1 C.2 D.3
解析:y=|x+1|+2的圖象如圖所示.
由圖可知函數的最小值為2.
答案:C
3.函數y=x2-2x,x∈[0,3]的值域為( )
A.[0,3] B.[-1,0]
C.[-1,+∞) D.[-1,3]
解析:∵函數y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴當x=1時,函數y取得最小值為-1,當x=3時,函數取得最大值為3,故函數的值域為[-1,3],故選D.
答案:D
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