《函數的單調性》函數的概念與性質PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.理解增函數和減函數的定義.
2.理解函數單調性的含義,掌握利用定義證明函數的單調性的方法.
3.能夠利用定義或圖象求函數的單調區間,能夠利用函數的單調性解決有關問題.
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函數的單調性PPT，第二部分內容：自主預習
一、增函數和減函數的定義
1.(1)畫出函數f(x)=x,f(x)=x2的圖象,觀察它們的圖象,圖象的升降情況如何?
提示:根據列表法的三個步驟:列表→描點→連線得兩函數的圖象如下.
函數f(x)=x的圖象由左到右是上升的;函數f(x)=x2的圖象在y軸左側是下降的,在y軸右側是上升的;函數y=-x2的圖象在y軸左側是上升的,在y軸右側是下降的.
(2)如何利用函數解析式f(x)=x2來描述隨著自變量x值的變化,函數值f(x)的變化情況?
提示:在(-∞,0]上,隨著自變量x值的增大,函數值f(x)逐漸減小;在(0,+∞)上,隨著自變量x值的增大,函數值f(x)逐漸增大.
(3)用x與f(x)的變化來描述當x在給定區間從小到大取值時,函數值依次增大?如果是函數值依次減小呢?
提示:在給定區間上,∀x1,x2,且x1<x2,則f(x1)<f(x2).在給定區間上,∀x1,x2且x1<x2,則f(x1)>f(x2).
(4)增函數的定義中,把“當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2)”改為“當x1>x2時,都有f(x1)>f(x2)”,這樣可以嗎?
提示:可以.增函數的定義:由于當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),即都是相同的不等號“<”,步調一致;“當x1>x2時,都有f(x1)>f(x2)”也是相同的不等號“>”,步調也一致.因此我們可以簡稱為:步調一致增函數.
2.填表
3.做一做
(1)f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是___________.(填“增函數”或“減函數”)
(2)f(x)=x2-1在區間[0,+∞)上是___________.(填“增函數”或“減函數”)
答案:(1)減函數 (2)增函數
二、函數的單調性與單調區間
1.(1)“函數y=f(x)在區間D上是增函數”與“函數y=f(x)的單調遞增區間為D”一樣嗎?
提示:不一樣.“函數y=f(x)的單調遞增區間為D”,說明區間D是函數y=f(x)的所有單調遞增區間;而“函數y=f(x)在區間D上是增函數”,只要函數在區間D上遞增即可,區間D是整個單調增區間的子集.
(2)函數y= 的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),圖象在第一、三象限內分別是單調遞減的,能否說函數y= 的單調遞減區間是(-∞,0)∪(0,+∞)?
提示:不能.不連續的單調區間必須分開寫,中間用“,”或“和”連接,不能用符號“∪”連接.
(3)寫一個函數的單調區間時,是否只能寫成開區間?
提示:不是.對于某一個點而言,由于它的函數值是一個確定的常數,無單調性可言,因此在寫單調區間時,可以包括端點,也可以不包括端點,但對于某些不在定義域內的區間端點,書寫時必須去掉,因此,書寫單調區間時,不妨約定“能閉則閉,需開則開”.
2.填空
如果函數y=f(x)在區間D上單調遞增(或單調遞減),那么就說函數y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性,區間D叫做y=f(x)的單調遞增(或減)區間.
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函數的單調性PPT，第三部分內容：探究學習
確定函數的單調區間
例1 求下列函數的單調區間,并指出其在單調區間上是增函數還是減函數:
(1)y=3x-2;(2)y=-1/x.
分析:若函數為我們熟悉的函數,則直接給出單調區間,否則應先畫出函數的草圖,再結合圖象“升降”給出單調區間.
解:(1)函數y=3x-2的單調區間為R,其在R上是增函數.
(2)函數y=- 的單調區間為(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均為增函數.
反思感悟 1.函數單調性的幾何意義:在單調區間上,若函數的圖象“上升”,則函數為增區間;若函數的圖象“下降”,則函數為減區間.因此借助于函數圖象來求函數的單調區間是直觀且有效的一種方法.除這種方法外,求單調區間時還可以使用定義法,也就是由增函數、減函數的定義求單調區間.求出單調區間后,若單調區間不唯一,中間可用“,”隔開.
2.一次、二次函數及反比例函數的單調性:
(1)一次函數y=kx+b(k≠0)的單調性由系數k決定:當k>0時,該函數在R上是增函數;當k<0時,該函數在R上是減函數.
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函數的單調性PPT，第四部分內容：思維辨析
因混淆“單調區間”和“在區間上單調”兩個概念而致錯
典例 若函數f(x)=x2+2(a-1)x+4的單調遞減區間是(-∞,4],則實數a的取值集合是_________.
錯解函數f(x)的圖象的對稱軸為直線x=1-a,由于函數在區間(-∞,4]上單調遞減,因此1-a≥4,即a≤-3.故實數a的取值集合為{a|a≤-3}.
以上解題過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:錯解中把單調區間誤認為是在區間上單調.
正解:因為函數的單調遞減區間為(-∞,4],且函數圖象的對稱軸為直線x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.故實數a的取值集合為{-3}.
答案:{-3}
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函數的單調性PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.若函數f(x)的定義域為(0,+∞),且滿足f(1)<f(2)<f(3),則函數f(x)在(0,+∞)內( )
A.是增函數 B.是減函數
C.先增后減 D.單調性不能確定
解析:1,2,3不是任意取的值,不能作為判斷函數單調性的依據.
答案:D
2.函數y=f(x),x∈[-4,4]的圖象如圖所示,則函數y=f(x)的所有單調遞減區間為( )
A.[-4,-2] B.[1,4]
C.[-4,-2]和[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]
答案:C
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