《章末整合》函數的概念與性質PPT
第一部分內容：專題一 求函數的值域
例1求下列函數的值域:
(1)y=(5x"-" 1)/(4x+2);(2)y=(x^2 "-" 4x+3)/(2x^2 "-" x"-" 1);
(3)y=(2x^2+4x"-" 7)/(x^2+2x+3);(4)y=2x-√(x"-" 1).
解:(1)(借助反比例函數的特征求解)
y=(5x"-" 1)/(4x+2)=(5/4 "(" 4x+2")-" 1"-" 5/2)/(4x+2)=(5/4 "(" 4x+2")-" 7/2)/(4x+2)=5/4-7/(2"(" 4x+2")" ).
∵7/(2"(" 4x+2")" )≠0,∴y≠5/4.
所以函數的值域為{y"∈" R├|y≠5/4┤}.
(2)∵y=(x^2 "-" 4x+3)/(2x^2 "-" x"-" 1)=("(" x"-" 1")(" x"-" 3")" )/("(" x"-" 1")(" 2x+1")" )=(x"-" 3)/(2x+1)(x≠1),
又(x"-" 3)/(2x+1)=(1/2 "(" 2x+1")-" 7/2)/(2x+1)=1/2-7/(2"(" 2x+1")" ).
當x=1時,原式y=(1"-" 3)/(2×1+1)=-2/3.
∴函數的值域為{y"∈" R├|y≠1/2 "且" y≠"-" 3/2┤}.
(3)(轉化為關于x的二次方程,然后利用判別式求值域)
已知函數式可變形為:yx2+2yx+3y=2x2+4x-7.
(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,
當y≠2時,將上式視為關于x的一元二次方程.
∵x∈R,∴Δ≥0,即[2(y-2)]2-4(y-2)(3y+7)≥0.
解得-9/2≤y<2.
當y=2時,3×2+7≠0,∴y≠2.
∴函數的值域為 -9/2,2 .
(4)令√(x"-" 1)=t,則t≥0,x=t2+1.
∴y=2(t2+1)-t=2t2-t+2=2 t-1/4 2+15/8.
∵t≥0,∴y≥15/8.∴函數y=2x-√(x"-" 1)的值域是 15/8,+∞ .
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章末整合PPT，第二部分內容：專題二 利用函數單調性求函數的最值
例2設a為實數,函數f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.
(1)討論函數f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
解:(1)當a=0時,函數f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此時f(x)為偶函數.
當a≠0時,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a).
此時函數f(x)既不是奇函數,也不是偶函數.
(2)①當x≤a時,函數f(x)=x2-x+a+1= x-1/2 2+a+3/4.
若a≤1/2,則函數f(x)在(-∞,a]上單調遞減,從而,函數f(x)在(-∞,a]上的最小值為f(a)=a2+1.
若a>1/2,則函數f(x)在(-∞,a]上的最小值為f 1/2 =3/4+a,且f 1/2 <f(a).
②當x≥a時,函數f(x)=x2+x-a+1= x+1/2 2-a+3/4.
若a≤-1/2,則函數f(x)在[a,+∞)上的最小值為f -1/2 =3/4-a,且f -1/2 ≤f(a).
若a>-1/2,則函數f(x)在[a,+∞)上單調遞增,從而函數f(x)在[a,+∞)上的最小值為f(a)=a2+1.
綜上,當a≤-1/2時,函數f(x)的最小值是3/4-a;
當-1/2<a≤1/2時,函數f(x)的最小值是a2+1.
當a>1/2時,函數f(x)的最小值是a+3/4.
方法技巧 解含參數問題的基本思想是分類討論,關鍵是確定討論的標準,要求不重復,不遺漏.本題對于奇偶性的討論標準是參數為零以及非零,分別對應偶函數及非奇非偶函數;對于最大值與最小值的討論標準比較復雜,可以看為兩類標準,一類是絕對值的零點(零點知識將在第四章學習),二是拋物線的對稱軸與相應區間的位置,通常需借助函數的圖象.
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章末整合PPT，第三部分內容：專題三 函數的奇偶性的應用
例3若奇函數y=f(x)是定義在[-1,1]上的減函數,且f(1-a)+f(1-a2)>0,求a的取值范圍.
解:由奇函數的性質,-f(1-a2)=f(a2-1),即f(1-a)+f(1-a2)>0等價于f(1-a)>f(a2-1),
又因為f(x)是定義在[-1,1]上的減函數,
所以{■("-" 1≤1"-" a≤1"," @"-" 1≤a^2 "-" 1≤1"," @1"-" a<a^2 "-" 1"," )┤解得1<a≤√2.
方法技巧 利用f(x)是奇函數和減函數的性質,去掉f,等價變換出a的不等式組.
變式訓練3若f(x)是定義在實數集R上的偶函數,且在區間(-∞,0)上是增函數,又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),求a的取值范圍.
解:法一:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則-x1>-x2,
因為f(x)在區間(-∞,0)上是增函數,
所以f(-x1)>f(-x2).
又因為f(x)是偶函數,得f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上是減函數,
因為2a2+a+1=2 a2+1/2a +1=2 a+1/4 2+7/8,3a2-2a+1=3 a-1/3 2+2/3,
所以2a2+a+1和3a2-2a+1是兩個正數,
所以f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)等價于2a2+a+1>3a2-2a+1,解得0<a<3.
法二:同法一,判斷出2a2+a+1和3a2-2a+1是兩個正數,則有-(2a2+a+1)<0和-(3a2-2a+1)<0.
由偶函數性質,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)等價于f[-(2a2+a+1)]<f[-(3a2-2a+1)],
又f(x)在區間(-∞,0)上是增函數,即-(2a2+a+1)<-(3a2-2a+1),解得0<a<3.
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