《不同函數增長的差異》指數函數與對數函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.通過作圖,借助計算器體會并了解指數函數、對數函數的增長特性.培養數據分析、直觀想象的能力.
2.掌握指數函數y=ax(a>1)與y=kx(k>0)的函數增長差異和y=logax(a>1)與y=kx的函數增長差異,并能解決相關問題.
3.能正確地選用函數模型解決實際問題.
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不同函數增長的差異PPT，第二部分內容：自主預習
一、指數函數與一次函數、二次函數增長的差異比較
1.(1)閱讀下面材料并回答問題
1859年,有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且沒有兔子的天敵,兔子數量不斷增加,不到100年,兔子們占領了整個澳大利亞,數量達到75億只,可愛的兔子變得可惡起來,75億只兔子吃掉了相當于75億只羊所吃的牧草,草原的載畜率大大降低,而牛羊是澳大利亞的主要牲口.這使澳大利亞頭痛不已.他們采用各種方法消滅這些兔子,直至二十世紀五十年代,科學家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的兔子,澳大利亞人才算松了一口氣.
想想看,澳大利亞的兔子為什么在不到100年的時間內發展到75億只?
答案:由于兔子在適宜環境下,其繁育的數量呈指數增長趨勢,指數增長又稱為“爆炸性增長”,因此發展十分迅猛.
(2)你能借助圖象得出在x∈R時,2x=x,2x=x2的根的個數嗎?在(0,+∞)上存在滿足2x<x的x嗎?在(0,+∞)上滿足2x>x2的x的范圍是什么?
答案:2x=x無根,2x=x2的根有3個(2正1負);
在(0,+∞)上,存在這樣的數x0滿足2^(x_0 )<x0.
在(0,+∞)上,當0<x<2或x>4時均有2x>x2成立.
2.填空
(1)一般地,指數函數y=ax(a>1)與一次函數y=kx(k>0)的增長差異都與上述情況類似.即使k的值遠遠大于a的值,y=ax(a>1)的增長速度最終都會大大超過y=kx(k>0)的增長速度,即總存在這樣的x0∈(0,+∞),當x>x0時,恒有
(2)對于y=ax(a>1)與二次函數y=x2也有這樣的結論,即存在x0∈(0,+∞),使當x>x0時總有
3.做一做
(1)下列函數中,增長速度最快的是( )
A.y=2x
B.y=3x
C.y=5x
D.y=10x
(2)在x∈(0,+∞)時,滿足2x<x2的x的取值范圍為 .
解析:(1)四個選項中的函數都是指數函數,且底數均大于1,D項中底數10最大,則函數y=10x的增長速度最快.
答案:(1)D (2)2<x<4
二、對數函數與一次函數、二次函數增長的差異比較
1.log2x=x有根嗎?log2x=x2呢?在(0,+∞)內存在x使log2x>x嗎?對于log2x>x2結論又如何?
答案:結合圖象(略)分析可知,
log2x=x只有一個根,log2x=x2也只有一個根.
存在這樣的x0∈(0,+∞)使log2x0>x0,同樣也存在這樣的x0∈(0,+∞)使log2x0>x_0^2 成立,但最終隨著x取值足夠大,log2x<x2,log2x<x恒成立.
2.填空
(1)一般地,雖然對數函數y=logax(a>1)與一次函數y=kx(k>0)在區間(0,+∞)上都單調遞增,但它們的增長速度不同.隨著x的增大,一次函數y=kx(k>0)保持固定的增長速度,而對數函數y=logax(a>1)的增長速度越來越慢.不論a的值比k的值大多少,在一定范圍內,logax可能會大于kx,但由于logax的增長慢于kx的增長,因此總會存在一個x0,當x>x0時,恒有logax<kx.
(2)對于y=logax(a>1)與y=x2也存在類似結論,即總會存在一個x0,當x>x0時,恒有logax<x2.
3.做一做
(1)下列函數增長速度最快的是( )
A.y=log2x
B.y=log6x
C.y=log8x
D.y=lg x
(2)方程x2-log2x=0的解的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.0
解析:(1)四個選項中的對數函數在區間(0,+∞)上均是增函數,選項A中y=log2x的底數2最小,則函數y=log2x的增長速度最快.
答案:(1)A (2)D
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不同函數增長的差異PPT，第三部分內容：探究學習
研究函數y=2x,y=x2,y=log2x的增長差異
例1在同一坐標系內作出函數y=2x,y=x2,y=log2x的圖象并探究它們的增長情況.
分析:先比較y=2x和y=x2,再比較y=log2x和y=x2,最后綜合判斷得出整體規律.
解:在同一直角坐標系內作出函數y=2x,y=x2,y=log2x
的圖象,如圖所示,觀察歸納可知,
當0<x<2時,2x>x2>log2x.
當2<x<4時,x2>2x>log2x.
當x>4時,2x>x2>log2x.
反思感悟 在(0,+∞)上,盡管函數y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=x2都是增函數,但它們的增長速度不同,而且不在同一個“檔次”上,隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于y=x2(n>0)的增長速度,而y=logax(a>1)的增長速度則會越來越慢,總會存在一個x0,當x>x0時,有logax<x2<ax.
變式訓練1四人賽跑,假設他們跑過的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和時間x(x>1)的函數關系分別是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.假設他們一直跑下去,最終跑在最前面的人具有的函數關系是 ( )
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
解析:當x足夠大時,跑在最前面的人具有的函數關系為指數型函數.
答案:D
變式訓練1四人賽跑,假設他們跑過的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和時間x(x>1)的函數關系分別是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.假設他們一直跑下去,最終跑在最前面的人具有的函數關系是 ( )
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
解析:當x足夠大時,跑在最前面的人具有的函數關系為指數型函數.
答案:D
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不同函數增長的差異PPT，第四部分內容：規范解答
選擇恰當函數模型解決實際問題
典例 某公司為了實現1 000萬元利潤的目標,準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數不超過5萬元,同時獎金總數不超過利潤的25%.現有三個獎勵方案模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個模型能符合該公司的要求?
分析:某個獎勵模型符合公司要求,就是依據這個模型進行獎勵時,獎金總數不超過5萬元,同時獎金總數不超過利潤的25%,由于公司總的利潤目標為1 000萬元,所以部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤.
于是,只需在區間[10,1 000],分別檢驗三個模型是否符合公司要求.
解:借助計算機作出函數y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限內的大致圖象(如圖所示):
觀察圖象發現,在區間[10,1 000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的圖象都有一部分在直線y=5的上方,只有模型y=log7x+1的圖象始終在y=5的下方,這說明只有按模型y=log2x+1進行獎勵時才符合公司的要求,下面通過計算確認上述判斷.
對于模型y=0.25x,它在區間[10,1 000]上遞增,當x∈(20,1 000)時,y>5,因此該模型不符合要求;
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不同函數增長的差異PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.存在x0,當x>x0時,下列不等式恒成立的是( )
A.2x<log2x<x2 B.x2<log2x<2x
C.log2x<2x<x2 D.log2x<x2<2x
答案:D
2.某公司為了適應市場需求對產品結構作了重大調整,調整后初期利潤增長迅速,后來增長越來越慢,若要建立恰當的函數模型來反映該公司調整后利潤y與時間x的關系,可選用( )
A.一次函數 B.冪函數
C.指數型函數 D.對數型函數
解析:初期利潤增長迅速,后來增長越來越慢.可用對數型函數模型來反映調整后利潤與時間的關系.
答案:D
3.某人從甲地去乙地,一開始跑步前進,后來步行,圖中橫軸表示走的時間,縱軸表示此人與乙地的距離,則較符合該走法的圖象是( )
解析:圖中給出的是直線模型,符合一次函數模型的特點,結合題意,應選D.
答案:D
4.四個變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數據如下表:
關于x呈指數函數變化的變量是__________.
解析:從表格觀察函數值y1,y2,y3,y4的增加值,哪個變量的增加值最大,則該變量關于x呈指數函數變化.以爆炸式增長的變量呈指數函數變化.
從表格中可以看出,四個變量y1,y2,y3,y4均是從2開始變化,變量y1,y2,y3,y4都是越來越大,但是增長速度不同,其中變量y2的增長速度最快,畫出它們的圖象,可知變量y2關于x呈指數函數變化.故填y2.
答案:y2
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