《函數的零點與方程的解》指數函數與對數函數PPT
第一部分內容：核心素養培養目標
1.了解函數零點的定義,并會求簡單函數的零點.
2.理解函數的零點與方程的解的聯系.
3.掌握函數零點存在的條件,會利用兩種角度判斷函數零點的個數.
4.要深刻理解零點存在定理,并能解決零點的存在性等問題.
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函數的零點與方程的解PPT，第二部分內容：自主預習
一、函數的零點
1.已知函數f(x)=2x+6.
(1)求方程f(x)=0的解;
提示:由2x+6=0,解得x=-3.
(2)求函數f(x)的圖象與x軸的交點坐標.
提示:交點坐標A(-3,0).
(3)方程的解與函數圖象與x軸的交點的橫坐標之間是怎樣的關系?
提示:相等.
2.填空:
函數的零點
(1)定義:對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.
(2)幾何意義:函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標就是函數y=f(x)的零點.
3.函數y=f(x)的零點是點嗎?為什么?
提示:不是.函數的零點的本質是方程f(x)=0的實數根,因此,函數的零點不是點,而是一個實數,當函數的自變量取這個實數時,函數值為零.
4.你能說出函數①y=lg x;②y=lg(x+1);③y=2x;④y=2x-2的零點嗎?
提示:①y=lg x的零點是x=1;②y=lg (x+1)的零點是x=0;③y=2x沒有零點;④y=2x-2的零點是x=1.
5.做一做:
函數f(x)=x2-1的零點是( )
A.(±1,0) B.(1,0)
C.0 D.±1
解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函數f(x)=x2-1的零點是±1.
答案:D
二、方程、函數、圖象之間的關系
1.考察下列一元二次方程與對應的二次函數:
①方程x2-2x-3=0與函數y=x2-2x-3;
②方程x2-2x+1=0與函數y=x2-2x+1;
③方程x2-2x+3=0與函數y=x2-2x+3.
(1)你能夠畫出關于上述方程的根,函數圖象與x軸的交點及函數的零點的表格嗎?
(2)從你所列的表格中,你能得出什么結論?
提示:方程f(x)=0有實數根⇔函數y=f(x)的圖象與x軸有交點⇔函數y=f(x)有零點.
三、函數零點存在性定理
1.觀察二次函數f(x)=x2-2x-3的圖象,發現這個二次函數在區間[-2,1]上有零點x=-1,而f(-2)>0,f(1)<0,即f(-2)·f(1)<0.二次函數在區間[2,4]上有零點x=3,而f(2)<0,f(4)>0,即f(2)·f(4)<0.由以上兩步探索,你可以得出什么樣的結論?
提示:如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點.
2.填空:
函數零點存在性定理:如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.
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函數的零點與方程的解PPT，第三部分內容：探究學習
求函數的零點
例1 判斷下列函數是否存在零點,如果存在,請求出零點.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16;
分析:可通過解方程f(x)=0求得函數的零點.
解:(1)令-8x2+7x+1=0,解得x=-1/8或x=1.
所以函數的零點為-1/8,1.
(2)令1+log3x=0,即log3x=-1,解得x=1/3.
所以函數的零點為1/3.
(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.
所以函數的零點為2.
反思感悟 因為函數f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數解,也是函數y=f(x)的圖象與x軸公共點的橫坐標,所以求函數的零點通常有兩種方法:一是代數法,令f(x)=0,通過求方程f(x)=0的解求得函數的零點;二是幾何法,畫出函數y=f(x)的圖象,圖象與x軸公共點的橫坐標即為函數的零點.
變式訓練1已知函數f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點是1和2,求函數y=logn(mx+1)的零點.
解:由題意知函數f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點為1和2,則1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的實根.
所以有{■(1+2="-" 3"(" m+1")," @1×2=n"," )┤解得{■(m="-" 2"," @n=2"." )┤
所以函數y=logn(mx+1)的解析式為y=log2(-2x+1).
令log2(-2x+1)=0,得x=0.
所以函數y=log2(-2x+1)的零點為0.
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函數的零點與方程的解PPT，第四部分內容：思想方法
函數與方程思想在一元二次方程解的分布問題中的應用
典例 關于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a為何值時:
(1)方程有一個正解和一個負解;
(2)方程的兩個解都大于1.
【審題視角】 題意→畫草圖→轉換為數量關系→求解
解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.
(1)當方程有一個正解和一個負解時,f(x)對應的草圖可能如圖①,②所示.
因此f(x)=0有一個正解和一個負解等價于{■(a>0"," @f"(" 0")" <0"," )┤或{■(a<0"," @f"(" 0")" >0"," )┤
解得0<a<1.
所以當0<a<1時,方程有一個正解和一個負解.
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函數的零點與方程的解PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.函數f(x)=log5(x-1)的零點是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函數f(x)=log5(x-1)的零點是2,故選C.
答案:C
2.若x0是方程ln x+x=4的解,則x0所在的區間是 ( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析:設f(x)=ln x+x-4,則f(1)=-3<0,
f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>0,
f(4)=ln 4>0,則x0∈(2,3).
答案:C
3.已知函數y=ax2-x-1只有一個零點,則實數a的值為___________.
解析:當a=0時,函數為y=-x-1,顯然該函數的圖象與x軸只有一個公共點,即函數只有一個零點.
當a≠0時,函數y=ax2-x-1為二次函數.
∵函數y=ax2-x-1只有一個零點,
∴方程ax2-x-1=0有兩個相等的實數解.
∴Δ=1+4a=0,即a=-1/4.
綜上可知,a的值為0或-1/4.
答案:0或-1/4
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