《同角三角函數的基本關系》三角函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.理解同角三角函數基本關系式.
2.能運用同角三角函數基本關系式解決求值、化簡與證明問題.
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同角三角函數的基本關系PPT，第二部分內容：自主預習
同角三角函數的基本關系式
1.填寫下表,你能從中發現同一個角的三角函數值之間有什么關系?
提示:填表略.sin2α+cos2α=1,tan α=sinα/cosα.
2.填空
同角的三角函數基本關系
(1)平方關系:同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2α+cos2α=1.
(2)商數關系:同一個角α的正弦、余弦的商等于這個角的正切,
即sinα/cosα=tan α("其中" α≠kπ+π/2 "(" k"∈" Z")" ).
3.做一做
(1)sin22 019°+cos22 019°=( )
A.0 B.1 C.2 019 D.2 019°
(2)若sin θ+cos θ=0,則tan θ=_________.
解析:(1)由平方關系知sin22 019°+cos22 019°=1.
(2)由sin θ+cos θ=0得sin θ=-cos θ,所以tan θ=sinθ/cosθ=("-" cosθ)/cosθ=-1.
答案:(1)B (2)-1
4.已知sin α(或cos α)的值,能否求出cos α(或sin α),tan α的值?已知sin α±cos α的值,怎樣求出sin αcos α的值?
提示:利用兩種關系式的變形可以解決上述問題.
二、同角三角函數基本關系式的變形
1.平方關系sin2α+cos2α=1的變形
(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;(5)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
2.商數關系tan α=sinα/cosα (α≠kπ+π/2 "," k"∈" Z)的變形
(1)sin α=tan α·cos α;
(2)cos α=sinα/tanα.
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同角三角函數的基本關系PPT，第三部分內容：探究學習
利用同角三角函數關系求值
角度1 已知某個三角函數值,求其余三角函數值
例1(1)已知sin α=1/5,求cos α,tan α的值;
(2)已知cos α=-3/5,求sin α,tan α的值.
分析:已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函數值,應先判斷三角函數值的符號,然后根據平方關系求出該角的正弦值或余弦值,再利用商數關系求該角的正切值.
解:(1)∵sin α=1/5>0,∴α是第一或第二象限角.
當α為第一象限角時,cos α=√(1"-" sin^2 α)=√(1"-" 1/25)=(2√6)/5,tan α=sinα/cosα=√6/12;
當α為第二象限角時,cos α=-(2√6)/5,tan α=-√6/12.
(2)∵cos α=-3/5<0,∴α是第二或第三象限角.當α是第二象限角時,sin α>0,tan α<0,∴sin α=√(1"-" cos^2 α)=√(1"-" ("-" 3/5) ^2 )=4/5,tan α=sinα/cosα=-4/3;當α是第三象限角時,sin α<0,tan α>0,∴sin α=-√(1"-" cos^2 α)=-√(1"-" ("-" 3/5) ^2 )=-4/5,tan α=sinα/cosα=4/3.
反思感悟 已知某個三角函數值求其余三角函數值的步驟
第一步:由已知三角函數的符號,確定其角終邊所在的象限;
第二步:依據角的終邊所在象限分類討論;
第三步:利用同角三角函數關系及其變形公式,求出其余三角函數值.
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同角三角函數的基本關系PPT，第四部分內容：核心素養
案例(開放探究題)從已知條件sin θ+cos θ=1/3 ,且θ∈(0,π),可以得到以下關系式:
(1)_____;
(2)_____;
(3)_____.
解析:由sin θ+cos θ=1/3可以得出的結論是多樣的,為此需明確方向.從同角三角函數的關系入手.因為sin θ+cos θ=1/3,所以(sin θ+cos θ)2=1/9,即sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=1/9,所以得sin θcos θ=-4/9?、?此外注意到(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ,因此(sin θ-cos θ)2=17/9?、?由sin θcos θ=-4/9<0,且θ∈(0,π)可知,θ∈ π/2,π ,從而sin θ-cos θ=√17/3?、?亦可將③式與條件聯立得sin θ=(1+√17)/6,cos θ=(1"-" √17)/6?、?由④式可得tan θ=(1+√17)/(1"-" √17)=-(9+√17)/8?、?等,從①②③④⑤中選擇任意三個填上即可.
答案:(1)sin θcos θ=-4/9 (2)(sin θ-cos θ)2=17/9
(3)sin θ-cos θ=√17/3(答案不唯一)
名師點評對于此類結論開放型試題,在解題的過程中需明確方向,然后順著這個方向進行,在此過程中充分運用各種關系進行衍生,顯然本題的求解方向為同角三角函數之間的關系,更為重要的是,本題中所運用的恒等式如下:(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
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同角三角函數的基本關系PPT，第五部分內容：思維辨析
忽視角的取值范圍致誤
典例 已知sin α+cos α=1/5,0<α<π,求sin α-cos α.
錯解∵sin α+cos α=1/5,
∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1/25,
∴2sin αcos α=-24/25,
∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=49/25,
∴sin α-cos α=±7/5.
以上解題過程及結果錯在什么地方?你發現了嗎?如何避免這類錯誤?
提示:錯解中沒有注意到角α∈(0,π),從而可推出sin α>0,cos α<0,因此解是唯一的.
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同角三角函數的基本關系PPT，第六部分內容：隨堂演練
1.已知α∈(π/2 "," π),sin α=3/5,則cos α等于( )
A.4/5 B.-4/5 C.-1/7 D.3/5
解析:因為α∈(π/2 "," π),且sin α=3/5,
所以cos α=-√(1"-" sin^2 α)=-√(1"-" (3/5)^2 )=-4/5.
答案:B
2.化簡√(1"-" sin^2 3π/5)的結果是( )
A.cos3π/5 B.sin3π/5
C.-cos3π/5 D.-sin3π/5
解析:原式=√(cos^2 3π/5)=|cos" " 3π/5|=-cos 3π/5.
答案:C
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