《三角函數的應用》三角函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型.
2.會用三角函數模型解決簡單的實際問題.
3.初步學會使用分析數據或圖象特征進行一些簡單的函數擬合.
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三角函數的應用PPT，第二部分內容：自主預習
一、三角函數的應用
1.簡諧運動
(1)對于函數y=Asin(ωx+φ),其最值、周期分別與哪些參數有關?如果一個簡諧振動,其解析式是y=3sin(πx+π/6),結合物理學知識,其振幅、周期、初相分別是多少?
提示:函數y=Asin(ωx+φ)的最值與A有關,周期與ω有關;對于簡諧振動y=3sin(πx+π/6),其振幅等于3,周期是2,初相為π/6.
(2)填空
在y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)(A>0,ω>0)中,各參數的物理意義.
(3)做一做
簡諧振動y=1/3sin(x/4+π/5)的振幅、周期、初相分別為( )
A.1/3,π/2,π/5 B.1/3,8π,π/5
C.-1/3,8π,π/5 D.1/3,8π,4π/5
解析:因為A=1/3,ω=1/4,所以周期T=2π/(1/4)=8π,故振幅為1/3,初相φ=π/5.
答案:B
二、應用三角函數模型解決問題的一般程序
1.填空
應用三角函數模型解決問題,首先要把實際問題抽象為數學問題,通過分析它的變化趨勢,確定它的周期,從而建立起適當的三角函數模型,解決問題的一般程序如下:
(1)審題,先審清楚題目條件、要求、理解數學關系.
(2)建模,分析題目周期性,選擇適當的三角函數模型.
(3)求解,對所建立的三角函數模型進行分析研究得到數學結論.
(4)還原,把數學結論還原為實際問題的解答.
2.做一做
如圖是相對于平均海平面的某海灣的水面高度h(單位:米)在某天從0~24時的變化情況,則水面高度h關于時間t的函數關系式為________________.
三角函數模型在日常生活中的應用
例1心臟跳動時,血壓在增加或減少.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓,血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓,讀數120/80 mmHg為標準值.設某人的血壓滿足函數式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)為血壓(單位:mmHg),t為時間(單位:min),試回答下列問題:
(1)求函數p(t)的周期;
(2)求此人每分鐘心跳的次數;
(3)畫出函數p(t)的草圖;
(4)求出此人的血壓在血壓計上的讀數.
分析:函數解析式已知,可根據周期公式以及周期與頻率的關系解決(1)(2).用“五點作圖法”解決(3).由函數解析式或圖象得出函數的最大值以及最小值即得血壓在血壓計上的讀數從而得(4).
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三角函數的應用PPT，第三部分內容：思維辨析
不能正確理解簡諧運動的過程致誤
典例 彈簧振子以點O為平衡位置,在B,C間做簡諧運動,B,C相距20 cm,某時刻振子處在點B,經0.5 s振子首次達到點C.求:
(1)振動的振幅、周期和頻率;
(2)振子在5 s內通過的路程及這時位移的大小.
錯解(1)因為B,C相距20 cm,
所以振幅A=20 cm.
因為從點B經0.5 s振子首次達到點C,
所以周期T=0.5 s,頻率f=1/T=2.
(2)5 s內的路程=位移=5A=5×20=100 cm.
錯解錯在什么地方?你能發現嗎?怎樣避免這類錯誤呢?
提示:振子以O為平衡位置,在B,C間做簡諧運動,B,C相距20 cm,說明振子離開平衡位置的最大值和最小值點相距20 cm,即振幅的2倍等于20 cm;振子從點B經0.5秒首次到達點C,再返回點B才是一個周期,因此,應有 =0.5 s;路程與位移有區別,路程只有大小,位移不僅有大小,還有方向.錯解中由于對周期的概念理解不清導致周期求錯,另外,混淆了路程與位移直接的區別導致結果錯誤.
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三角函數的應用PPT，第四部分內容：隨堂演練
1.函數y=3sin("-" x+π/6)的相位和初相分別是( )
A.-x+π/6,π/6 B.x-π/6,-π/6
C.x+5π/6,5π/6 D.x+5π/6,π/6
解析:因為y=3sin("-" x+π/6)
=3sin[π"-" ("-" x+π/6)]=3sin(x+5π/6),
所以相位和初相分別是x+5π/6,5π/6.
答案:C
2.如圖是一向右傳播的繩波在某一時刻繩子各點的位置圖,經過 周期后,乙的位置將移至( )
A.x軸上 B.最低點 C.最高點 D.不確定
解析:相鄰的最大值與最小值之間間隔半個周期,故乙移至最高點.
答案:C
3.如圖所示是一個簡諧運動的圖象,則下列判斷正確的是 ( )
A.該質點的振動周期為0.7 s
B.該質點的振幅為-5 cm
C.該質點在0.1 s和0.5 s時的振動速度最大
D.該質點在0.3 s和0.7 s時的位移為零
解析:由題中圖象及簡諧運動的有關知識知,T=0.8 s,A=5 cm.當t=0.1 s或0.5 s時,v為零.
答案:D
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