《函數y＝Asin(ωx＋φ)》三角函數PPT

《函數y＝Asin(ωx＋φ)》三角函數PPT

第一部分內容：學 習 目 標

1.理解參數A，ω，φ對函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響；能夠將y＝sin x的圖象進行變換得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的圖象．(難點)

2.能根據y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，確定其解析式．(重點)

3.求函數解析式時φ值的確定．(易錯點)

核 心 素 養

1.通過函數圖象的變換，培養直觀想象素養.

2.借助函數的圖象求解析式，提升數學運算素養.

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函數y＝Asin(ωx＋φ)PPT，第二部分內容：自主預習探新知

新知初探

1．φ對y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響

2．ω(ω＞0)對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響

3．A(A＞0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響

初試身手

1．把函數y＝sin x的圖象向左平移π3個單位長度后所得圖象的解析式為(　　)

A．y＝sin x－π3  B．y＝sin x＋π3

C．y＝sinx－π3  D．y＝sinx＋π3

2．為了得到函數y＝4sin12x－π6，x∈R的圖象，只需將函數y＝4sinx－π6，x∈R的圖象上的所有點(　　)

A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變

B．橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變

C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變

D．縱坐標縮短到原來的12倍，橫坐標不變

3．函數y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值為5，則A＝________.

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函數y＝Asin(ωx＋φ)PPT，第三部分內容：合作探究提素養

三角函數圖象之間的變換

【例1】(1)將函數y＝2cos2x＋π3的圖象向左平移π3個單位長度，再向下平移3個單位長度，則所得圖象的解析式為________．

(2)將y＝sin x的圖象怎樣變換可得到函數y＝2sin2x＋π4＋1的圖象？

[思路點撥]　(1)依據左加右減；上加下減的規則寫出解析式．

(2)法一：y＝sin x→縱坐標伸縮→橫坐標伸縮和平移→向上平移．

法二：左右平移→橫坐標伸縮→縱坐標伸縮→上下平移．

規律方法

由y＝sin x的圖象，通過變換可得到函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象，其變化途徑有兩條：

(1)y＝sin x――――→相位變換y＝sin(x＋φ)――――→周期變換y＝sin(ωx＋φ)

――――→振幅變換y＝Asin(ωx＋φ)．

(2)y＝sin x――――→周期變換y＝sin ωx――――→相位變換y＝sinωx＋φω＝sin(ωx＋φ)――――→振幅變換y＝Asin(ωx＋φ)．

提醒：兩種途徑的變換順序不同，其中變換的量也有所不同：(1)是先相位變換后周期變換，平移|φ|個單位．(2)是先周期變換后相位變換，平移|φ|ω個單位，這是很易出錯的地方，應特別注意．

已知函數圖象求解析式

【例2】(1)已知函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分圖象如圖所示，則函數f(x)的解析式為(　　)

A．y＝2cosx2－π4＋4  B．y＝2cosx2＋π4＋4

C．y＝4cosx2－π4＋2  D．y＝4cosx2＋π4＋2

(2)函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2，且圖象如圖所示，求其解析式．

[思路點撥]　由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊點坐標解方程求φ.

規律方法

確定函數y＝Asinωx＋φ的解析式的關鍵是φ的確定，常用方法有：

1代入法：把圖象上的一個已知點代入此時A，ω已知或代入圖象與x軸的交點求解此時要注意交點在上升區間上還是在下降區間上.

2五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點－φω，0作為突破口.“五點”的ωx＋φ的值具體如下：,“第一點”即圖象上升時與x軸的交點為ωx＋φ＝0；,“第二點”即圖象的“峰點”為ωx＋φ＝π2；,“第三點”即圖象下降時與x軸的交點為ωx＋φ＝π；,“第四點”即圖象的“谷點”為ωx＋φ＝3π2；,“第五點”為ωx＋φ＝2π.

三角函數圖象與性質的綜合應用

[探究問題]

1．如何求函數y＝Asin(ωx＋φ)與y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸方程？

提示：與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的圖象的對稱軸通過函數圖象的最值點且垂直于x軸．

2．如何求函數y＝Asin(ωx＋φ)與y＝Acos(ωx＋φ)的對稱中心？

提示：與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)圖象的對稱中心即函數圖象與x軸的交點．

函數y＝Asin(ωx＋φ)對稱中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，則x＝kπ－φω(k∈Z)，所以函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象關于點kπ－φω，0(k∈Z)成中心對稱；

課堂小結

1．準確理解“圖象變換法”

(1)由y＝sin x到y＝sin (x＋φ)的圖象變換稱為相位變換，由y＝sin x到y＝sin ωx圖象的變換稱為周期變換；由y＝sin x到y＝Asin x圖象的變換稱為振幅變換．

(2)由y＝sin x的圖象，通過變換可得到函數y＝Asin (ωx＋φ)的圖象，其變換途徑有兩條，注意兩種途徑的變換順序不同，其中變換的量也有所不同：①是先相位變換后周期變換，平移|φ|個單位．②是先周期變換后相位變換，平移|φ|ω個單位，這是很易出錯的地方，應特別注意．

(3)類似地y＝Acos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象也可以由y＝cos x的圖象變換得到．

2．由y＝Asin (ωx＋φ)的圖象性質或部分圖象確定解析式的關鍵在于確定參數A，ω，φ.其基本方法是在觀察圖象的基礎上，利用待定系數法求解.

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函數y＝Asin(ωx＋φ)PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基

1．思考辨析

(1)y＝sin 3x的圖象向左平移π4個單位所得圖象的解析式是y＝sin3x＋π4.(　　)

(2)y＝sin x的圖象上所有點的橫坐標都變為原來的2倍所得圖象的解析式是y＝sin 2x.(　　)

(3)y＝sin x的圖象上所有點的縱坐標都變為原來的2倍所得圖象的解析式是y＝12sin x．(　　)

2．函數y＝cos x圖象上各點的縱坐標不變，把橫坐標變為原來的2倍，得到圖象的解析式為y＝cos ωx，則ω的值為________．

3．由y＝3sin x的圖象變換到y＝3sin12x＋π3的圖象主要有兩個過程：先平移后伸縮和先伸縮后平移，前者需向左平移________個單位，后者需向左平移________個單位．

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