《對數的概念》指數函數與對數函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.理解對數的概念,掌握對數的基本性質.
2.掌握指數式與對數式的互化,能應用對數的定義和性質解方程.
3.理解常用對數和自然對數的定義形式以及在科學實踐中的應用.
4.了解對數的發展歷史,了解數學文化.
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對數的概念PPT，第二部分內容：自主預習
一、對數的概念
1.(1)某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,…依次類推,那么1個這樣的細胞分裂x次后,得到的細胞個數N是多少?
提示:N=2x.
(2)上述問題中,若已知分裂后得到的細胞的個數分別為8個,16個,則分裂的次數分別是多少?
提示:3次,4次.
(3)上述問題中,如果已知細胞分裂后的個數N,能求出分裂次數x嗎?
提示:能,x=log2N.
2.填空:
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN,其中a叫做對數的底數,N叫做真數.
3.在對數式x=logaN中,底數a和真數N的取值范圍是什么,為什么?
提示:由于對數式中的底數a就是指數式中的底數a,所以a的取值范圍為a>0,且a≠1;由于在指數式中ax=N,而ax>0,所以N>0.
4.對數式與指數式的互化
(1)在指數式和對數式中都含有a,x,N這三個量,那么這三個量在兩個式子中各有什么異同點?
提示:
(2)53=125化為對數式是什么?log416=2化為指數式是什么?指數式與對數式具有怎樣的關系?
提示:log5125=3,42=16.
當a>0,a≠1時,ax=N⇔x=logaN.
(3)(-3)2=9能否直接化為對數式log(-3)9=2?
提示:不能,因為只有符合a>0,a≠1時,才有ax=N⇔x=logaN.
5.做一做
(1)若a^(1/2)=b(a>0,且a≠1),則( )
A.loga1/2=b B.logab=1/2 C.log_(1/2)a=b D.log_(1/2)b=a
(2)若log4x=1/2,則( )
A.4x=1/2 B.x^(1/2)=4 C.x4=1/2 D.4^(1/2)=x
(3)若對數log(x-1)(4x-5)有意義,則x的取值范圍是 ( )
A.5/4≤x<2 B.5/2<x<2
C.5/4<x<2或x>2 D.2≤x≤3
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對數的概念PPT，第三部分內容：探究學習
對數式與指數式的互化
例1 將下列指數式與對數式互化:
(1)log_(1/3)27=-3; (2)43=64;
(3)e-1=1/e; (4)10-3=0.001.
分析:利用當a>0,且a≠1時,logaN=b⇔ab=N進行互化.
解:(1)(1/3)^("-" 3)=27. (2)log464=3.
(3)ln1/e=-1. (4)lg 0.001=-3.
反思感悟1.logaN=b與ab=N(a>0,且a≠1)是等價的,表示a,b,N三者之間的同一種關系.如下圖:
2.根據這個關系式可以將指數式與對數式互化:將指數式化為對數式,只需將冪作為真數,指數作為對數,底數不變;而將對數式化為指數式,只需將對數式的真數作為冪,對數作為指數,底數不變.
變式訓練1將下列指數式與對數式互化:
(1)2-2=1/4; (2)102=100; (3)ea=16;
(4)log641/4=-1/3; (5)logxy=z(x>0,且x≠1,y>0).
解:(1)log21/4=-2. (2)log10100=2,即lg 100=2.
(3)loge16=a,即ln 16=a. (4)64^("-" 1/3)=1/4.
(5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).
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對數的概念PPT，第四部分內容：思維辨析
因忽視底數的取值范圍而致錯
典例 已知log(x+3)(x2+3x)=1,求實數x的值.
錯解由對數的性質可得x2+3x=x+3,解得x=1或x=-3.
以上解題過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:上述解法的錯誤在于忘記檢驗底數需大于0且不等于1.
正解:由對數的性質知{■(x^2+3x=x+3"," @x^2+3x>0"," @x+3>0",且" x+3≠1"," )┤
解得x=1.故實數x的值為1.
防范措施 1.在對數表達式x=logaN中,需滿足底數a>0,且a≠1,真數N>0.
2.在利用對數式的性質求出a的值后,務必驗證底數和真數是否滿足對數式的意義.
變式訓練對數式log(a-2)(5-a)中實數a的取值范圍是( )
A.(-∞,5)
B.(2,5)
C.(2,3)∪(3,5)
D.(2,+∞)
解析:要使對數式b=log(a-2)(5-a)有意義,
則{■(a"-" 2>0"," @5"-" a>0"," @a"-" 2≠1"," )┤解得a∈(2,3)∪(3,5),
故選C.
答案:C
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對數的概念PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.將log5b=2化為指數式是( )
A.5b=2 B.b5=2 C.52=b D.b2=5
答案:C
2.將(1/2)^("-" 3)=8化為對數式是( )
A.log(-3)8=1/2 B.log_(1/2)8=3
C.log_(1/2)8=-3 D.log38=-1/2
答案:C
3.16、17世紀之交,隨著天文、航海、工程、貿易以及軍事的發展,改進數字計算方法成了當務之急,數學家納皮爾在研究天文學的過程中,為簡化計算發明了對數.直到18世紀,才由瑞士數學家歐拉發現了指數與對數的互逆關系,即ab=N⇔b=logaN.現在已知a=log23,則2a=———.
解析:由a=log23,
化對數式為指數式可得2a=3.
答案:3
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