《指數函數》指數函數與對數函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.理解指數函數的概念和意義,能畫出具體指數函數的圖象.
2.初步掌握指數函數的性質,并能解決與指數函數有關的定義域、值域、定點問題.
3.逐步體會指數函數在實際問題中的應用.
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指數函數PPT，第二部分內容：自主預習
一、指數函數的定義
1.細胞分裂時,由一個分裂成兩個,兩個分裂成四個……設1個細胞分裂x次后得到的細胞個數為y.
(1)變量x與y間存在怎樣的關系?
提示:y=2x,x∈N*.
(2)上述對應關系是函數關系嗎?為什么?
提示:是.符合函數的定義.
2.如果x∈R,等式y=2x還表示y是x的函數嗎?如果是,其解析式有何結構特征?
提示:是.結構特征:等式右邊是指數形式,底數為常數,指數是變量.
3.填空:
一般地,函數y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數函數,其中指數x是自變量, 定義域是R.
4.指數函數定義中為什么規定了a>0且a≠1?
提示:將a如數軸所示分為:a<0,a=0,0<a<1,a=1和a>1五部分進行討論:
(1)如果a<0,如y=(-4)x,這時對于x=1/4,x=1/2等,在實數范圍內函數值不存在;
(2)如果a=0,{■("當" x>0"時," a^x "恒等于" 0"," @"當" x≤0"時," a^x "無意義;" )┤
(3)如果a=1,y=1x=1,是個常數函數,沒有研究的必要;
(4)如果0<a<1或a>1,即a>0且a≠1,x可以是任意實數.
5.做一做
若函數y=(a-2)ax是指數函數,則( )
A.a=1或a=3 B.a=1
C.a=3 D.a>0且a≠1
解析:若函數y=(a-2)ax是指數函數,
則{■(a"-" 2=1"," @a>0"且" a≠1"," )┤解得a=3.
答案:C
二、指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象與性質
分別在同一平面直角坐標系內畫出y=2x與y=(1/2)^x的圖象及y=3x與y=(1/3)^x的圖象,通過觀察具體的指數函數的圖象,歸納、抽象出y=ax(a>0,且a≠1)的圖象與性質.
(1)圖象分布在哪幾個象限?這說明了什么?
提示:圖象分布在第一、二象限,說明值域為(0,+∞).
(2)猜想圖象的上升、下降與底數a有怎樣的關系?對應的函數的單調性如何?
提示:它們的圖象都在x軸上方,向上無限伸展,向下無限接近于x軸;當底數a大于1時圖象上升,為增函數;當底數a大于0小于1時圖象下降,為減函數.
(3)圖象是否經過定點?這與底數的大小有關系嗎?
提示:圖象恒過定點(0,1),與a無關.
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指數函數PPT，第三部分內容：探究學習
指數函數的概念
例1 (1) 如果指數函數y=f(x)的圖象經過點("-" 2"," 1/4),那么f(4)f(2)等于____________.
(2)已知函數y=(a2-3a+3)ax是指數函數,求a的值.
分析:(1)設出指數函數f(x)的解析式,然后代入已知點的坐標求解參數,從而確定函數解析式,最后代值求解;(2)依據指數函數的形式定義,確定參數a所滿足的條件求解.
(1)解析:設f(x)=ax(a>0,a≠1),
∴a-2= .∴a=2.∴f(4)f(2)=24·22=64.
答案:64
(2)解:由y=(a2-3a+3)ax是指數函數,可得{■(a^2 "-" 3a+3=1"," @a>0",且" a≠1"," )┤
解得{■(a=1"或" a=2"," @a>0",且" a≠1"," )┤故a=2.
反思感悟指數函數是一個形式定義,其特征如下:
變式訓練(1)已知指數函數的圖象經過點P(-1,3),則f(3)=_________.
(2)已知函數f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x為指數函數,則a=_________.
解析:(1)設指數函數為f(x)=ax(a>0且a≠1),由題意得a-1=3,
解得a=1/3,所以f(x)=(1/3)^x,故f(3)=(1/3)^3=1/27.
(2)函數f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指數函數,
∴{■(a^2 "-" 2a+2=1"," @a+1>0"," @a+1≠1"," )┤解得a=1.
答案:(1)1/27 (2)1
指數函數的圖象問題
例2 (1)如圖是指數函數:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,則a,b,c,d與1的大小關系是( )
A.a<b<1<c<d
B.b<a<1<d<c
C.1<a<b<c<d
D.a<b<1<d<c
(2)已知函數f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的圖象一定過點P,則點P的坐標是____.
(3)函數y=(1/2)^("|" x"|" )的圖象有什么特征?你能根據圖象指出其值域和單調區間嗎?
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指數函數PPT，第四部分內容：思想方法
換元法在求函數值域中的應用
典例 已知函數y=(1/4)^x-(1/2)^x+1的定義域為[-3,2].
(1)求函數的單調區間;
(2)求函數的值域.
分析:原函數可以看作是y關于(1/2)^x的二次函數,換元后轉化為二次函數在閉區間上的最值問題.
反思感悟 1.定義域、值域的求解思路
形如y=af(x)的函數的定義域就是f(x)的定義域.
求形如y=af(x)的函數的值域,應先求出u=f(x)的值域,再結合y=au的單調性求出y=af(x)的值域.若a的取值范圍不確定,則需對a進行分類討論.
形如y=f(ax)的函數的值域,要先求出u=ax的值域,再結合y=f(u)的單調性確定出y=f(ax)的值域.
2.求解技巧
復合函數的值域,往往用換元法解決,但要注意新元和舊元的關系.
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指數函數PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.函數y=2-x的大致圖象是 ( )
解析:y=2-x=(1/2)^x.
答案:B
2.已知集合M={y∈R|y=2x,x>0},N={x∈R|x2-2x<0},則M∩N=( )
A.(1,2) B.(1,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,0]∪(1,+∞)
答案:A
3.已知2x>21-x,則x的取值范圍是( )
A.R B.x<1/2
C.x>1/2 D.⌀
解析:∵2x>21-x,∴x>1-x,即x>1/2.
答案:C
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