《章末整合》三角函數PPT
第一部分內容：專題一 三角函數的圖象及其變換
例1函數f(x)=Asin(ωx+φ) A,ω,φ為常數,A>0,ω>0,|φ|<π/2 的部分圖象如圖所示,則f(0)的值是_________.
解析:由題圖可知,A=√2,T/4=7π/12-π/3=π/4,所以T=π,ω=2π/T=2.又函數圖象經過點(π/3 "," 0),
所以2×π/3+φ=π,則φ=π/3,故函數的解析式為f(x)=√2sin(2x+π/3),所以f(0)=√2sinπ/3=√6/2.
答案:√6/2
歸納總結由已知函數圖象求函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式時,常用的解題方法是待定系數法.由圖中的最大值或最小值確定A,由周期確定ω,由適合解析式的點的坐標來確定φ,但由圖象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不是唯一的,只有限定φ的取值范圍,才能得出唯一的解,否則φ的值不確定,解析式也就不唯一.
變式訓練1已知函數y=f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,0<φ<π/2 的圖象上的一個最低點為M(2π/3 ",-" 2),周期為π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)將y=f(x)的圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),然后再將所得的圖象沿x軸向右平移 個單位長度,得到函數y=g(x)的圖象,寫出函數y=g(x)的解析式;
(3)當x∈[0"," π/12]時,求函數f(x)的最大值和最小值.
分析:(1)先由函數圖象的周期為π確定ω,再由圖象的一個最低點為M(2π/3 ",-" 2),確定A,φ.(2)通過圖象變換與解析式的關系確定g(x).(3)由x∈[0"," π/12]確定ωx+φ的范圍,從而確定最值.
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章末整合PPT，第二部分內容：專題二 三角函數的求值
例2試求 tan 10°+4sin 10°的值.
分析:所求式中含有切函數和弦函數,應先將切化弦通分,然后根據角之間的關系求解.
解:原式=(√3 sin10"°" +4sin10"°" cos10"°" )/cos10"°"
=(√3 sin10"°" +2sin20"°" )/cos10"°" =(√3 sin"(" 30"°-" 20"°)" +2sin20"°" )/cos10"°"
=(√3 sin30"°" cos20"°-" √3 cos30"°" sin20"°" +2sin20"°" )/cos10"°"
=(√3/2 cos20"°" +1/2 sin20"°" )/cos10"°"
=(sin"(" 60"°" +20"°)" )/cos10"°"
=sin80"°" /cos10"°" =1.
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章末整合PPT，第三部分內容：專題三 三角函數的化簡與證明
例4化簡:("(" 1+sinα+cosα")" (sin α/2 "-" cos α/2))/√(2+2cosα)(π<α<2π).
分析:觀察知,含有角α/2與其二倍角α,且分母中含有根號,考慮用升冪公式將cos α化為有關cos2α/2的式子,去掉根號.
解:原式
=(2cos^2 α/2+2sin α/2 cos α/2)(sin α/2 "-" cos α/2)/√(4cos^2 α/2)
=(2cos α/2 (cos α/2+sin α/2)(sin α/2 "-" cos α/2))/2|cos α/2|
=(cos α/2 (sin^2 α/2 "-" cos^2 α/2))/|cos α/2|
=-(cos α/2 cosα)/|cos α/2| .
∵π<α<2π,
∴π/2<α/2<π.
∴cosα/2<0.
∴原式=cos α.
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章末整合PPT，第四部分內容：專題四 三角函數性質與變換公式的綜合應用
例6當x=π/4時,函數y=f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,則函數y=f(3π/4 "-" x)是( )
A.奇函數且當x=π/2時取得最大值
B.偶函數且圖象關于點(π,0)對稱
C.奇函數且當x=π/2時取得最小值
D.偶函數且圖象關于點(π/2 "," 0)對稱
解析:∵f(π/4)=-A,
∴sin(π/4+φ)=-1,
∴φ=5π/4+2kπ,k∈Z,∴y=f(3π/4 "-" x)=Asin(-x)=-Asin x,
∴y=f(3π/4 "-" x)是奇函數,且當x=π/2時取得最小值.
答案:C
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