《函數的基本性質》函數的概念與性質PPT(第4課時函數奇偶性的應用)
第一部分內容：學習目標
會利用函數的奇偶性求函數的解析式
能運用函數的單調性和奇偶性解決比較大小、求最值、解不等式等綜合問題
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函數的基本性質PPT，第二部分內容：講練互動
利用奇偶性求函數的解析式
若函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f(x)＝x2－2x－1，求函數f(x)的解析式．
【解】當x＜0時，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，
因為函數f(x)是奇函數，
所以f(x)＝－f(－x)，
所以x＜0時，f(x)＝－x2－2x＋1，
故f(x)＝x2－2x－1（x＞0），0（x＝0），－x2－2x＋1（x＜0）.
1．(變問法)在本例條件下，求f(－3)的值．
解：因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(－3)＝－f(3)＝－(32－2×3－1)＝－2.
2．(變條件)將本例中的“奇函數”改為“偶函數”，其他條件不變，求當x＜0時，函數f(x)的解析式．
解：當x＜0時，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，
因為函數f(x)是偶函數，
所以f(x)＝f(－x)，
所以f(x)＝x2＋2x－1，
即x＜0時，f(x)＝x2＋2x－1.
規律方法
利用奇偶性求函數解析式的思路
(1)“求誰設誰”，即在哪個區間求解析式，x就設在哪個區間內．
(2)利用已知區間的解析式代入．
(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．
跟蹤訓練
1．設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函數f(x)，g(x)的解析式．
解：因為f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
2．已知函數f(x)是定義域為R的偶函數，且當x≥0時，f(x)＝－x2＋2x.
(1)求出函數f(x)在R上的解析式；
(2)畫出函數f(x)的圖象；
(3)根據圖象，寫出函數f(x)的單調遞減區間及值域．
函數的奇偶性與單調性的綜合問題
角度一 比較大小問題
設偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)<f(－3)<f(－2)
D．f(π)<f(－2)<f(－3)
角度二 解不等式
已知定義在(－1，1)上的函數f(x)＝xx2＋1.
(1)試判斷f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的單調性；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)＜0.
規律方法
奇偶性與單調性綜合問題的兩種類型
(1)比較大小
①自變量在同一單調區間上，直接利用函數的單調性比較大??；
②自變量不在同一單調區間上，需利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一單調區間上，然后利用單調性比較大?。?/p>
(2)解不等式
①利用已知條件，結合函數的奇偶性，把已知不等式轉化為f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；
②根據奇函數在對稱區間上的單調性一致，偶函數在對稱區間上的單調性相反，脫掉不等式中的“f”轉化為簡單不等式(組)求解．
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函數的基本性質PPT，第三部分內容：達標反饋
1．下列函數中，既是偶函數又在(0，＋∞)上單調遞增的函數是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－2x
解析：選B.對于函數y＝|x|＋1，
f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
所以y＝|x|＋1是偶函數，當x>0時，y＝x＋1，
所以在(0，＋∞)上單調遞增；另外函數y＝x3不是偶函數；
y＝－x2＋1在(0，＋∞)上單調遞減；y＝－2x不是偶函數．故選B.
2．如果奇函數f(x)在區間[1，5]上是減函數，且最小值為3，那么f(x)在區間[－5，－1]上是( )
A．增函數且最小值為3
B．增函數且最大值為3
C．減函數且最小值為－3
D．減函數且最大值為－3
3．設奇函數f(x)在(0，＋∞)上為減函數，且f(1)＝0，則不等式f（x）－f（－x）x<0的解集為( )
A．(－1，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1，0)∪(0，1)
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