《增長速度的比較》指數函數、對數函數與冪函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.理解函數平均變化率的概念.
2.會求函數在給定區間上的平均變化率.
3.掌握函數的平均變化率與單調性的關系.
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增長速度的比較PPT，第二部分內容：課前篇自主預習
一、平均變化率
1.試求出y=3x+4在[3,5]上的平均變化率.
提示:平均變化率為y的改變量與x的改變量之比.
2.填空.
(1)函數值的改變量與自變量的改變量的比稱為平均變化率.
(2)函數y=f(x)在區間[x1,x2](x1<x2時)或[x2,x1](x1>x2時)上的平均變化率為 _______________.
(3)平均變化率也可理解為:自變量每增加1個單位,函數值平均將增加 個單位,因此,可用平均變化率來比較函數值變化的快慢.
3.做一做:函數y=4x的平均變化率為a1,函數y=x-3的平均變化率為a2,則a1,a2的大小關系是( )
A.a1>a2 B.a1<a2 C.a1=a2 D.無法確定
答案:A
二、求平均變化率的步驟
1.求y=5x+1在[2,3]上的平均變化率可分成幾步?
提示:①Δx=3-2;②Δy=5×3+1-(5×2+1);③ =5.
2.填空.
平均變化率的求解步驟:
(1)確定區間[x1,x2](x2>x1);
(2)求出Δx=x2-x1;
(3)求出Δf=f(x2)-f(x1);
(4)求出平均變化率Δf/Δx=(f"(" x_2 ")-" f"(" x_1 ")" )/(x_2 "-" x_1 ).
3.做一做:y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均變化率是 ( )
A.2 B.2x C.2+Δx D.2+(Δx)2
答案:C
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增長速度的比較PPT，第三部分內容：課堂篇探究學習
函數平均變化率的求解
例1函數f(x)=x2+ +4在區間[1,2]上的平均變化率為__________.
分析:根據平均變化率的定義列式求解.
變式訓練函數y=f(x)=-2x2+5在區間[2,2+Δx]內的平均變化率為 .
答案:-8-2Δx
解析:Δy=f(2+Δx)-f(2)=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,所以 =-8-2Δx,即平均變化率為-8-2Δx.
平均變化率的大小比較
例2已知函數y1=3x+1,y2=log4x-1,分別計算兩個函數在[a,a+1](a>1)上的平均變化率,并比較它們的大小.
解: y1=3x+1的平均變化率為Δy/Δx=(3^(a+1)+1"-" 3^a "-" 1)/("(" a+1")-" a)=2×3a,y2=log4x-1的平均變化率為Δy/Δx=(log_4 "(" a+1")-" 1"-" log_4 a+1)/("(" a+1")-" a)=log4(1+1/a).
因為a>1,所以2×3a>6,log4(1+1/a)<log44=1,
所以在區間[a,a+1](a>1)上y1=3x+1的平均變化率大于y=log4x-1的平均變化率.
延伸探究求y=3x+1在[a,a+1]與[a+1,a+2]上的平均變化率,并比較它們的大小.
解: 在[a,a+1]上,Δy/Δx=(3^(a+1)+1"-" 3^a "-" 1)/("(" a+1")-" a)=2×3a,
在[a+1,a+2]上,Δy/Δx=(3^(a+2)+1"-" 3^(a+1) "-" 1)/("(" a+2")-" a"-" 1)=2×3a+1=6×3a.因為(6×3^a)/(2×3^a )=3>1,
所以y=3x+1在[a+1,a+2]上平均變化率大于在[a,a+1]上的平均變化率.
思考(1)隨左端點變化,y=3x+1的平均變化率怎樣變化?
(2)我們可以怎樣定義這樣的函數?
提示:(1)左端點越大,y=3x+1的平均變化率越大.
(2)我們將y=3x+1這樣的函數稱為爆炸型函數.
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增長速度的比較PPT，第四部分內容：思維辨析
平均變化率大小比較的常用方法
典例(1)求y=2x在[1,1+Δx]與[2,2+Δx]上的平均變化率,并比較大小.
(2)求y=x2-2在[1,1+Δx]和[2,2+Δx]上的平均變化率,并比較大小.
(3)求y=3x與y=log2x在[a,a+1](a>1)上的平均變化率,并比較大小.
解:(1)在[1,1+Δx]上,Δy/Δx=(2^(1+Δx) "-" 2)/Δx,在[2,2+Δx]上,Δy/Δx=(2^(2+Δx) "-" 4)/Δx,因為((2^(2+Δx) "-" 4)/Δx)/((2^(1+Δx) "-" 2)/Δx)=2>1,
所以y=2x在[2,2+Δx]上的平均變化率大于在[1,1+Δx]上的平均變化率.
(2)在[1,1+Δx]上,Δy/Δx=("(" 1+Δx")" ^2 "-" 2"-" 1+2)/Δx=2+Δx,
在[2,2+Δx]上,Δy/Δx=("(" 2+Δx")" ^2 "-" 2"-" 4+2)/Δx=4+Δx.
因為4+Δx-2-Δx=2>0,所以y=x2-2在[2,2+Δx]上的平均變化率大于在[1,1+Δx]上的平均變化率.
(3)對于y=3x,Δy/Δx=(3^(a+1) "-" 3^a)/("(" a+1")-" a)=2×3a>6,
對于y=log2x,Δy/Δx=(log_2 "(" a+1")-" log_2 a)/("(" a+1")-" a)=log2(a+1)/a
=log2(1+1/a)<log2(1+1/1)=1.
所以y=log2x在[a,a+1]上的平均變化率小于y=3x在[a,a+1]上的平均變化率.
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增長速度的比較PPT，第五部分內容：當堂檢測
1.如圖,函數y=f(x)在A,B兩點間的平均變化率等于 ( )
A.-1
B.1
C.-2
D.2
答案:A
2.函數f(x)=x2在x0到x0+Δx之間的平均變化率為k1,在x0-Δx到x0之間的平均變化率為k2,則k1,k2的大小關系為( )
A.k1<k2 B.k1>k2
C.k1=k2 D.無法確定
答案:D
3.函數f(x)=x,g(x)=x2在[0,1]上的平均變化率分別為m1,m2,則下列結論正確的是( )
A.m1=m2
B.m1>m2
C.m2>m1
D.m1,m2的大小無法確定
答案:A
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