《冪函數》指數函數、對數函數與冪函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.通過實例,了解冪函數的概念.
2.結合函數y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x^(1/2)的圖像,了解它們的變化情況及簡單性質.
3.能運用冪函數的圖像與性質解決相關問題.
4.會用信息技術作冪函數的圖像.
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冪函數PPT，第二部分內容：課前篇自主預習
一、冪函數的定義
1.請說出函數y=2x與y=x2的自變量的特征,y=x2是指數函數嗎?
提示:函數y=2x是前面剛學過的指數函數,自變量x為指數冪的指數.而函數y=x2中自變量x為指數冪的底數.y=x2不是指數函數,而是本節課將要學習的冪函數.
2.一次函數和二次函數都是冪函數嗎?
提示:不一定,例如,y=x+1,y=x2+1分別為一次函數和二次函數,但它們都不是冪函數.一次函數中的y=x與二次函數中的y=x2才是本節課研究的結構形式,能稱為冪函數.
3.填空.
一般地,函數y=xα稱為冪函數,其中α為常數.
二、函數y=x,y=x2,y=x3, ,y=x-1的圖像與性質
1.在同一坐標系內作出上述五種函數的圖像.
回答以下問題:
(1)僅考慮第一象限內的圖像,這五個函數的圖像都過哪個定點?
提示:點(1,1).
(2)函數y=x,y=x2,y=x3, 圖像所過公共點是哪個?
提示:點(0,0),點(1,1).
(3)這五個函數的圖像均不過哪個象限?你能發現更一般的結論嗎?
提示:上述五個函數的圖像均不過第四象限,一般地,對冪函數y=xα而言,當x>0時,必有y>0,故冪函數的圖像不過第四象限.
2.(1)在冪函數y=xα中,如果α是正偶數(α=2n,n為非零自然數),如α=2,4,6,…,這一類函數具有哪些重要性質?
提示:重要性質:①定義域為R,圖像都經過(-1,1),(0,0),(1,1)三點;②函數的圖像關于y軸對稱,即函數為偶函數;③函數在(-∞,0]上為減函數,在[0,+∞)內為增函數.
(2)在冪函數y=xα中,如果α是正奇數(α=2n-1,n為非零自然數),如α=1,3,5,…,這一類函數具有哪些重要性質?
提示:重要性質:①定義域、值域為R,圖像都過(-1,-1),(0,0),(1,1)三點;②函數的圖像關于原點對稱,即函數為奇函數;③函數在R上是增函數.
(3)當x∈[0,+∞),α>1與0<α<1時,冪函數y=xα的圖像有何不同?
提示:兩者圖像的區別和聯系:無論α>1還是0<α<1,函數y=xα在[0,+∞)內都是增函數,但在[0,1]內前者比后者增得慢,在(1,+∞)上前者比后者增得快.
三、冪函數共有的性質
1.冪函數在(0,+∞)上都有定義.
2.冪函數的圖像過點(1,1).
3.當α>0時,冪函數的圖像都過點(1,1)和(0,1),且在(0,+∞)上單調遞增.
4.當α<0時,冪函數的圖像都過點(1,1),且在(0,+∞)上單調遞減.
5.做一做:已知函數f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是冪函數且是(0,+∞)上的增函數,則m的值為 .
答案:-1
解析:由題意知m2-m-1=1,
∴m2-m-2=0,
∴m=2或m=-1.
當m=2時,f(x)=x-13,不符合題意,故舍去;
當m=-1時,f(x)=x2,符合題意,故m的值為-1.
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冪函數PPT，第三部分內容：課堂篇探究學習
冪函數的概念
例1(1)已知點M(√3/3 "," 3)在冪函數f(x)的圖像上,則f(x)的解析式為( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=x-2
C.f(x)=x^(1/2) D.f(x)=x^("-" 1/2)
(2)下列函數中,是冪函數的為_________.(填序號)
①y=x^(1/3);②y=2x2;③y=x^(2/3);
④y=x2+x;⑤y=-x3.
答案:(1)B (2)①③
解析:(1)設冪函數的解析式為y=xα,則3=(√3/3)^α,
∴α=-2.∴y=x-2.
(2)①③的底數是變量,指數是常數,且系數為1,因此①③是冪函數;②中x2的系數為2,因此不是冪函數;④是由兩個冪函數相加而成的函數,因此不是冪函數;⑤不符合冪函數中xα前的系數為1的條件,因此不是冪函數.
反思感悟冪函數的判斷方法
(1)冪函數同指數函數、對數函數一樣,也是基本初等函數,同樣也是一種“形式定義”的函數,也就是說必須完全具備形如y=xα(α∈R)的函數才是冪函數.
(2)如果函數以根式的形式給出,則要注意對根式進行化簡整理,再對照冪函數的定義進行判斷.
比較大小
例2比較下列各組數的大小:
(1)1.5^(1/2),1.7^(1/2).
(2)(-1.2)3,(-1.25)3.
(3)5.25-1,5.26-1,5.26-2.
(4)0.53,30.5,log30.5.
分析:(1)借助函數y= x^(1/2);(2)借助函數y=x3;(3)借助函數y=5.26x和y=x-1;(4)利用中間值法.
反思感悟比較冪形式的兩個數大小的常用方法:
(1)若能化為同指數,則用冪函數的單調性.
(2)若能化為同底數,則用指數函數的單調性.
(3)若既不能化為同指數,也不能化為同底數,則需尋找一個恰當的數作為中間值來比較大小.
變式訓練三個數60.7,0.76,log0.76的大小順序是 ( )
A.0.76<log0.76<60.7 B.0.76<60.7<log0.76
C.log0.76<60.7<0.76 D.log0.76<0.76<60.7
答案:D
解析:因為60.7>1,0<0.76<1,log0.76<0,
所以log0.76<0.76<60.7.故選D.
冪函數的圖像
例3 如圖是冪函數y=xm與y=xn在第一象限內的圖像,則( )
A.n<0,m>1
B.n<0<m<1
C.m>n>1
D.n>m>1
答案:B
解析:由冪函數的圖像及性質可知,在第一象限內,若冪指數大于零,則函數為增函數;若冪指數小于零,則函數為減函數,故m>0,n<0.又由y=xm的圖像與直線y=x比較,得0<m<1.
反思感悟冪函數圖像的特征
(1)指數大于1,在第一象限的圖像類似于y=x2的圖像;
(2)指數等于1,在第一象限為上升的射線;
(3)指數大于0小于1,在第一象限的圖像類似于y=√x的圖像;
(4)指數等于0,在第一象限為水平的射線;
(5)指數小于0,在第一象限的圖像類似于y=x-1的圖像.
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冪函數PPT，第四部分內容：思維辨析
用待定系數法求冪函數解析式
典例已知冪函數f(x)存在反函數f-1(x),且f-1(3√3)=√3/3,則f(x)的解析式為( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=x-3
C.f(x)=x^(1/2)D.f(x)=x^("-" 1/2)
方法點睛冪函數解析式y=xα中僅有一個常數α,故只需要一個條件即可確定冪函數的解析式,這樣的條件往往是已知f(m)=n或圖像過點(m,n)等.通常利用待定系數法求解,先設出冪函數的解析式f(x)=xα,再利用已知條件列方程求出常數α的值.
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冪函數PPT，第五部分內容：當堂檢測
1.冪函數的圖像過點(2,4),則它的單調增區間是( )
A.(2,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞) D.(-∞,0)
解析:設f(x)=xα(α為常數),由2α=4,得α=2,
所以f(x)=x2.故其單調增區間為[0,+∞).
答案:B
2.下列命題中,正確的是( )
A.當α=0時,函數y=xα的圖像是一條直線
B.冪函數的圖像都經過(0,0)和(1,1)
C.若冪函數y=xα(α為常數)是奇函數,則y=xα是定義域上的增函數
D.冪函數的圖像不可能出現在第四象限
答案:D
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