《函數的應用》指數函數、對數函數與冪函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.能運用指數函數、對數函數、冪函數的性質來解決某些簡單的實際問題.
2.了解函數模型在社會生活及科研中的廣泛應用.
3.培養應用數學的意識以及分析問題、解決問題的能力.
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函數的應用PPT，第二部分內容：課前篇自主預習
一、幾種常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型f(x)=ax+b(a,b為常數,a≠0)
二次函數模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
與指數函數相關的模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數,a>0且a≠1,b≠0)
與對數函數相關的模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數,a>0且a≠1,b≠0)
與冪函數相關的模型f(x)=axn+b(a,b,n為常數,a≠0)
二、三種函數模型性質的比較
1.填空.
y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的單調性 增函數 增函數 增函數
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
圖像的變化 隨x值增大,圖像與y軸接近平行 隨x值增大,圖像與x軸接近平行 隨n值變化而不同
2.做一做:某同學在一次數學實驗中,獲得了如下一組數據:
則x,y的函數關系最接近(其中a,b為待定系數)函數( )
A.y=a+bx
B.y=bx
C.y=ax2+b
答案:B
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函數的應用PPT，第三部分內容：課堂篇探究學習
指數函數模型
例1諾貝爾獎發放方式為:每年一發,把獎金總額平均分成6份,獎勵給分別在物理、化學、文學、經濟學、生理學和醫學、和平上為人類做出最有益貢獻的人,每年發放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半,另一半利息作基金總額,以便保證獎金數逐年增加.假設基金平均年利率為r=6.24%.資料顯示:2015年諾貝爾獎發放后基金總額約為19 800萬美元.設f(x)表示第x(x∈N+)年諾貝爾獎發放后的基金總額.(2015年記為f(1),2016年記為f(2),…,依次類推)
(1)用f(1)表示f(2)與f(3),并根據所求結果歸納出函數f(x)的表達式;
(2)試根據f(x)的表達式判斷網上一則新聞“2025年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”是否為真,并說明理由.(參考數據:1.031 29≈1.32)
分析:指數型函數模型的應用是高考的一個主要內容,常與增長率相結合進行考查.在實際問題中,有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以用指數型函數模型來表示.通?？杀硎緸閥=a(1+p)x(其中a為原來的基礎數,p為增長率,x為時間)的形式.
解:(1)由題意知f(2)=f(1)(1+6.24%)- f(1)·6.24%=f(1)×(1+3.12%),
f(3)=f(2)×(1+6.24%)- f(2)×6.24%
=f(2)×(1+3.12%)=f(1)×(1+3.12%)2,
∴f(x)=19 800(1+3.12%)x-1(x∈N+).
(2)2024年諾貝爾獎發放后基金總額為f(10)=19 800(1+3.12%)9≈26 136,
故2025年度諾貝爾獎各項獎金為 f(10)·6.24%≈136(萬美元),與150萬美元相比少了約14萬美元,是假新聞.
反思感悟指數函數模型的應用
指數函數y=ax(a>1)經復合可以得到指數型函數,指數型函數的函數值變化較快,指數型函數函數值的增長速度隨底數不同而不同,并且根據已知數據的關系能建立起模型,進而能對未知進行推斷.
變式訓練1某城市現有人口總數為100萬,如果年自然增長率為1.2%,試解答下面的問題.
(1)寫出該城市的人口總數y(萬)與年數x(年)的函數關系式;
(2)計算10年后該城市人口總數(精確到0.1萬);
(3)計算大約多少年后該城市人口總數將達到120萬(精確到1年)((1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)15≈1.196,(1+1.2%)16≈1.21).
解:(1)1年后該城市人口總數為y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)(萬);
2年后該城市人口總數為y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2(萬);
3年后該城市人口總數為y=100×(1+1.2%)3(萬);
該城市人口總數y(萬)與年數x(年)的函數關系式為y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后該城市人口總數為y=100×(1+1.2%)10≈100×1.127≈112.7(萬).
(3)令y=120,則有100×(1+1.2%)x=120,
解方程可得x≈16,
即大約16年后該城市人口總數將達到120萬.
對數函數模型
例2 某地一漁場的水質受到了污染.漁場的工作人員對水質檢測后,決定往水中投放一種藥劑來凈化水質.已知每投放質量為m(m∈N+)個單位的藥劑后,經過x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足y=mf(x),其中f(x)={■(log_3 "(" x+4")(" 0<x≤5")," @6/(x"-" 2) "(" x>5")," )┤當藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)時稱為有效凈化;當藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)時稱為最佳凈化.
(1)如果投放的藥劑質量為m=6,那么漁場的水質達到有效凈化一共可持續幾天?
(2)如果投放的藥劑質量為m,為了使在8天(從投放藥劑算起包括第8天)之內的漁場的水質達到最佳凈化,試確定應該投放的藥劑質量m的取值范圍.
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函數的應用PPT，第四部分內容：思維辨析
因未弄清函數類型而致誤
典例 某林區2018年木材蓄積量為200萬立方米,由于采取了封山育林、嚴禁砍伐等措施,使木材蓄積量的年平均增長率達到5%.
(1)若經過x年后,該林區的木材蓄積量為y萬立方米,求y=f(x)的表達式,并求此函數的定義域;
(2)求經過多少年后,林區的木材蓄積量能達到300萬立方米.
錯解:(1)現有木材蓄積量為200萬立方米,經過1年后木材蓄積量為200+200×5%=200(1+5%);
經過2年后木材蓄積量為200(1+5%×2);
經過x年后木材蓄積量為200(1+5%·x).
所以y=f(x)=200(1+5%·x)(x∈N+).
(2)設x年后木材蓄積量為300萬立方米,
正解:(1)現有木材蓄積量為200萬立方米.
經過1年后木材蓄積量為200+200×5%=200(1+5%);
經過2年后木材蓄積量為200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200(1+5%)2;
所以經過x年后木材蓄積量為200(1+5%)x.
所以y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N+).
(2)由200(1+5%)x=300,得(1+5%)x=1.5,取值驗證可知8<x<9,所以取x=9,即經過9年后,林區的木材蓄積量能達到300萬立方米.
防范措施對此類問題首先要弄清題目,木材蓄積量年平均增長問題實質上為一指數函數類模型.若初始蓄積量為a,年平均增長率為b%,則x年后木材蓄積量y與x的關系為y=a(1+b%)x,x∈N+.另外還有儲蓄等問題也屬于指數型函數模型.因此大家在學習過程中多積累實際素材,每一類實際問題都有其自身的規律特點.
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函數的應用PPT，第五部分內容：當堂檢測
1.(多選)某種商品2018年提價25%,2020年要降價,但不能低于原價,則可以降價( )
A.25% B.20% C.15% D.10%
答案:BCD
2.某研究小組在一項實驗中獲得一組關于y,t之間的數據,將其整理后得到如下的圖像,下列函數中,最能近似刻畫y與t關系的是( )
A.y=2t
B.y=2t2
C.y=t3
D.y=log2t
答案:D
解析:此曲線符合對數函數的變化趨勢.
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