《任意角》三角函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.掌握用“旋轉”定義角的概念,結合具體實例理解“正角”“負角”及“零角”的定義.
2.理解“象限角”“終邊相同角”的定義,掌握所有與角α終邊相同的角(包括角α)的表示方法.
3.體會用運動變化的觀點,深刻理解推廣后的角的概念.
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任意角PPT，第二部分內容：自主預習
一、任意角
1.(1)初中所學的角是如何定義的?初中學過哪些角?初中學過的角的范圍是什么?
提示:具有公共頂點的兩條射線組成的圖形;銳角、直角、鈍角、平角、周角;0°<α≤360°.
(2)在奧運會比賽中,跳水是極具觀賞性的項目,其中解說員經常播報出場運動員完成的動作難度系數和一些動作名稱.比如說“107B”就表示向前翻騰3周半屈體,“107C”就是向前翻騰3周半抱膝(第三個數字表示翻騰的周數,以“1”為半圓,“2”為一周,“3”為一周半,以此類推).若一位跳水運動員做了一個“5253B”動作,你知道這位運動員翻騰的周數嗎?怎樣度量這種形式的角呢?
提示:5253B中第3個數是5,說明該運動員翻騰兩周半,對這樣的角的認識必須將以前學過的角的概念進行推廣.
2.填空
(1)角的概念:平面內的一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形.
(2)角的分類:按旋轉方向可將角分為三類
溫馨提示:1.在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以簡記成“α”;
2.如果α是零角,那么記α=0°.
二、第幾象限角
1.如果將一個角放到平面直角坐標系中,且使角α的始邊與x軸的非負半軸重合,角的頂點與原點重合,回答以下問題:
(1)α=45°的角終邊落在第幾象限?
提示:第一象限.
(2)α=120°的角終邊落在第幾象限?
提示:第二象限.
(3)α=-90°的角終邊落在第幾象限?
提示:y軸的負半軸上.
(4)若α終邊落在第二象限,則角φ的范圍是多少?
提示:90°+k·360°<φ<180°+k·360°,k∈Z.
(5)若將α的終邊再繼續旋轉角β得到的角如何表示?
提示:α+β
2.填空
象限角的定義
(1)前提:
①角的頂點與原點重合;
②角的始邊與x軸的非負半軸重合.
(2)結論:角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角;
角的終邊在坐標軸上,就說這個角不屬于任何一個象限.
三、終邊相同的角
1.在同一平面直角坐標系內作出30°,390°,-330°,750°角,觀察它們的終邊有什么關系,這些角之間相差多少度?
提示:終邊在相同的位置,它們之間相差360°的整數倍.
2.填空
一般地,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數個周角的和.
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任意角PPT，第三部分內容：探究學習
任意角的概念及其表示
例1(1)經過2個小時,鐘表的時針和分針轉過的角度分別是( )
A.60°,720° B.-60°,-720°
C.-30°,-360° D.-60°,720°
(2)下圖中的角α的度數是___________.
解析:(1)鐘表的時針和分針都是順時針旋轉,因此轉過的角度都是負的,而2/12×360°=60°,2×360°=720°,故鐘表的時針和分針轉過的角度分別是-60°,-720°.
(2)要正確識圖,確定好旋轉的方向和旋轉的大小.因為角α旋轉的大小是360°-30°=330°,旋轉方向是逆時針,所以α=330°.
答案:(1)B (2)330°
反思感悟 確定任意角的方法:
(1)定方向:明確該角是由順時針方向還是逆時針方向旋轉形成的,由逆時針方向旋轉形成的角為正角,順時針方向旋轉形成的角為負角.
(2)定大小:根據旋轉角度的絕對量確定角的大小.
變式訓練1(1)把一條射線繞著端點按順時針方向旋轉240°所形成的角是( )
A.120° B.-120°
C.240° D.-240°
(2)圖中角α=__________,β=__________.
解析:(1)一條射線繞著端點按順時針方向旋轉240°所形成的角是-240°,故選D.
(2)由題圖可知α=-(180°-30°)=-150°,β=30°+180°=210°.
答案:(1)D (2)-150° 210°
坐標系中角的概念及其表示
角度1 終邊相同的角的求解
例2寫出與75°角終邊相同的角的集合,并求在360°~1 080°范圍內與75°角終邊相同的角.
分析:根據與角α終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+α,k∈Z},寫出與75°角終邊相同的角的集合,再取適當的k值,求出360°~1 080°范圍內的角.
解:與75°角終邊相同的角的集合為
S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
當360°≤β<1 080°時,即360°≤k·360°+75°<1 080°,
解得19/24≤k<219/24.
又k∈Z,所以k=1或k=2.
當k=1時,β=435°;
當k=2時,β=795°.
綜上所述,與75°角終邊相同且在360°~1 080°范圍內的角為435°角和795°角.
反思感悟 求與已知角α終邊相同的角時,要先將這樣的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用賦值法求解或解不等式,確定k的值,求出滿足條件的角.
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任意角PPT，第四部分內容：思維辨析
對任意角的概念不清導致角的范圍寫錯
典例 寫出終邊在如圖所示陰影部分內的角的集合.
錯解一終邊為OA的角為k·360°+30°(k∈Z),
終邊為OB的角為k·360°+150°(k∈Z),
所以終邊在陰影部分內的角的集合為{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}.
錯解二終邊為OA的角為k·360°+30°(k∈Z),終邊為OB的角為k·360°+150°(k∈Z),
所以終邊在陰影部分內的角的集合為{α|k·360°+150°<α<k·360°+30°,k∈Z}.
以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何訂正?怎么防范?
提示:錯解一考慮了角的大小,但表示的是終邊落在陰影部分以外的角;錯解二沒有注意到角的大小,寫出的集合是空集.
正解:因為陰影部分含x軸正半軸,所以終邊為OA的角為β=30°+k·360°,k∈Z,終邊為OB的角為γ=-210°+k·360°,k∈Z.所以終邊在陰影部分內的角的集合為{α|-210°+k·360°≤α≤30°+k·360°,k∈Z}.
防范措施 1.用不等式表示區域角的范圍時,要注意觀察角的集合形式是否能夠合并,能合并的一定要合并.
2.對于區域角的書寫,一定要看其區域是否跨越x軸的正方向.
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任意角PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.下列敘述正確的是( )
A.三角形的內角必是第一或第二象限角
B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等
C.第四象限角一定是負角
D.鈍角比第三象限角小
解析:90°角是三角形的內角,它不是第一或第二象限角,故A錯;280°角是第四象限角,它是正角,故C錯;-100°角是第三象限角,它比鈍角小,故D錯.
答案:B
2.把-1 485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( )
A.315°-5×360° B.45°-4×360°
C.-315°-4×360° D.-45°-10×180°
解析:∵0°≤α<360°,∴排除C,D選項,經計算可知選項A正確.
答案:A
3.-495°角的終邊與下列哪個角的終邊相同( )
A.135° B.45° C.225° D.-225°
解析:因為-495°=-2×360°+225°,所以與-495°角終邊相同的是225°角.故選C.
答案:C
4.與-2 018°角終邊相同的最小正角是 .
解析:∵-2 018°=-6×360°+142°,∴所求值為142°.
答案:142°
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