《二次函數與一元二次方程、不等式》一元二次函數、方程和不等式PPT課件(第2課時)

《二次函數與一元二次方程、不等式》一元二次函數、方程和不等式PPT課件(第2課時)

第一部分內容：學 習 目 標

1.掌握一元二次不等式的實際應用(重點).

2.理解三個“二次”之間的關系.

3.會解一元二次不等式中的恒成立問題(難點).

核 心 素 養

1.通過分式不等式的解法及不等式的恒成立問題的學習，培養數學運算素養.

2.借助一元二次不等式的應用培養數學建模素養.

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二次函數與一元二次方程不等式PPT，第二部分內容：自主預習探新知

新知初探

1．分式不等式的解法

主導思想：化分式不等式為整式不等式

思考1：x－3x＋2>0與(x－3)(x＋2)>0等價嗎？將x－3x＋2>0變形為(x－3)(x＋2)>0，有什么好處？

提示：等價；好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經熟悉的一元二次不等式．

2．(1)不等式的解集為R(或恒成立)的條件

不等式 ax2＋bx＋c>0    ax2＋bx＋c<0

a＝0 b＝0，c>0         b＝0，c<0

a≠0 a>0Δ<0            a<0Δ<0

(2)有關不等式恒成立求參數的取值范圍的方法

設二次函數y＝ax2＋bx＋c

若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k

若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k

3.從實際問題中抽象出一元二次不等式模型的步驟

(1)閱讀理解，認真審題，分析題目中有哪些已知量和未知量，找準不等關系．

(2)設出起關鍵作用的未知量，用不等式表示不等關系(或表示成函數關系)．

(3)解不等式(或求函數最值)．

(4)回扣實際問題．

思考2：解一元二次不等式應用題的關鍵是什么？

提示：解一元二次不等式應用題的關鍵在于構造一元二次不等式模型，選擇其中起關鍵作用的未知量為x，用x來表示其他未知量，根據題意，列出不等關系再求解．

1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝xx－2x≤0，則A∩B等于(　　)

A．{x|－1≤x<0}　

B．{x|0<x≤1}

C．{x|0≤x<2}  

D．{x|0≤x≤1}

2．不等式x＋1x≥5的解集是________．

3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，則實數a的取值范圍是________．

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二次函數與一元二次方程不等式PPT，第三部分內容：合作探究提素養

分式不等式的解法

【例1】　解下列不等式：

(1)x－3x＋2<0；

(2)x＋12x－3≤1.

[解]　(1)x－3x＋2<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3，

∴原不等式的解集為{x|－2<x<3}．

(2)∵x＋12x－3≤1，

∴x＋12x－3－1≤0，

∴－x＋42x－3≤0，

即x－4x－32≥0.

此不等式等價于(x－4)x－32≥0且x－32≠0，

解得x<32或x≥4，

∴原不等式的解集為xx<32或x≥4.

規律方法

1．對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．

2．對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．

一元二次不等式的應用

【例2】國家原計劃以2 400元/噸的價格收購某種農產品m噸．按規定，農戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點，即8%)．為了減輕農民負擔，制定積極的收購政策．根據市場規律，稅率降低x個百分點，收購量能增加2x個百分點．試確定x的范圍，使稅率調低后，國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%.

[思路點撥]　將文字語言轉換成數學語言：“稅率降低x個百分點”即調節后稅率為(8－x)%；“收購量能增加2x個百分點”，此時總收購量為m(1＋2x%)噸，“原計劃的78%”即為2 400m×8%×78%.

課堂小結

1．解分式不等式時，一定要等價變形為一邊為零的形式，再化歸為一元二次不等式(組)求解．當不等式含有等號時，分母不為零．

2．對于某些恒成立問題，分離參數是一種行之有效的方法．這是因為將參數分離后，問題往往會轉化為函數問題，從而得以迅速解決．當然，這必須以參數容易分離作為前提．分離參數時，經常要用到以下簡單結論：

(1)若f(x)有最大值f(x)max，則a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，則a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.

3．在某集合A中恒成立問題

設y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

若ax2＋bx＋c＞0在集合A中恒成立，則集合A是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數的取值(范圍).

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二次函數與一元二次方程不等式PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基

1．思考辨析

(1)不等式1x>1的解集為x<1.(　　)

(2)求解m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立時，可轉化為求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，從而求出m的范圍．(　　)

2．不等式x＋1x＋22  x＋3x＋4>0的解集為________．

3．對于任意實數x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，則實數a的取值范圍是________．

4．某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞．為了使這批臺燈每天能獲得400元以上的銷售收入，應怎樣制定這批臺燈的銷售價格？

[解]　設每盞臺燈售價x元，則x≥15，并且日銷售收入為x[30－2(x－15)]，由題意知，當x≥15時，有x[30－2(x－15)]>400，解得：15≤x<20.

所以為了使這批臺燈每天獲得400元以上的銷售收入，應當制定這批臺燈的銷售價格為15≤x＜20.

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