《三角函數的圖象與性質》三角函數PPT課件(第二課時正、余弦函數的周期性與奇偶性)
第一部分內容：學 習 目 標
1.了解周期函數、周期、最小正周期的定義．
2．會求函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重點)
3．掌握函數y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，會判斷簡單三角函數的奇偶性．(重點、易混點)
核 心 素 養
1.通過周期性的研究，培養邏輯推理素養．
2．借助奇偶性及圖象的關系，提升直觀想象素養.
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三角函數的圖象與性質PPT，第二部分內容：自主預習探新知
新知初探
1．函數的周期性
(1)周期函數：對于函數f(x)，如果存在一個_________，使得當x取定義域內的每一個值時，都有_________，那么這個函數的周期為_____.
(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的_________，那么這個最小_________就叫做f(x)的_________．
2．正弦函數、余弦函數的周期性和奇偶性
初試身手
1．函數y＝2sin2x＋π2是( )
A．周期為π的奇函數
B．周期為π的偶函數
C．周期為2π的奇函數
D．周期為2π的偶函數
2．函數f(x)＝2sin 2x的奇偶性為( )
A．奇函數
B．偶函數
C．既奇又偶函數
D．非奇非偶函數
3．函數f(x)＝3sinπx2－π4，x∈R的最小正周期為________．
4．若函數y＝f(x)是以2為周期的函數，且f(5)＝6，則f(1)＝________.
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三角函數的圖象與性質PPT，第三部分內容：合作探究提素養
三角函數的周期問題及簡單應用
【例1】求下列函數的周期：
(1)y＝sin2x＋π4；
(2)y＝|sin x|.
[思路點撥] (1)法一：尋找非零常數T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．
法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式計算．
(2)作函數圖象，觀察出周期．
[解] (1)法一：(定義法)y＝sin2x＋π4
＝sin2x＋π4＋2π＝sin2x＋π＋π4，
所以周期為π.
法二：(公式法)y＝sin2x＋π4中ω＝2，T＝2πω＝2π2＝π.
(2)作圖如下：
觀察圖象可知周期為π.
規律方法
求三角函數周期的方法：
(1)定義法：即利用周期函數的定義求解．
(2)公式法：對形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，A≠0，ω≠0)的函數，T＝2π|ω|.
(3)圖象法：即通過觀察函數圖象求其周期．
提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝π|ω|.
跟蹤訓練
1．利用周期函數的定義求下列函數的周期．
(1)y＝cos 2x，x∈R；
(2)y＝sin13x－π4，x∈R.
三角函數奇偶性的判斷
【例2】判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)＝sin－12x＋π2；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝1＋sin x－cos2x1＋sin x.
規律方法
1．判斷函數奇偶性應把握好的兩個方面：
一看函數的定義域是否關于原點對稱；
二看f(x)與f(－x)的關系．
2．對于三角函數奇偶性的判斷，有時可根據誘導公式先將函數式化簡后再判斷．
提醒：研究函數性質應遵循“定義域優先”的原則．
課堂小結
1．“f(x＋T)＝f(x)”是定義域內的恒等式，即對定義域內的每一個值都成立，T是非零常數，周期T是使函數值重復出現的自變量x的增加值，周期函數的圖象每隔一個周期重復一次．
2．周期函數定義中的“f(x＋T)＝f(x)”是對定義域中的每一個x值來說的，只有個別的x值滿足f(x＋T)＝f(x)，不能說T是y＝f(x)的周期．
3．在數軸上，定義域關于原點對稱，是函數具有奇偶性的一個必要條件．因此，確定函數的奇偶性，先要考查其定義域是否關于原點對稱．若是，再判斷f(－x)與f(x)的關系；若不是，則該函數既不是奇函數，也不是偶函數.
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三角函數的圖象與性質PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基
1．思考辨析
(1)若sin2π3＋π6＝sinπ6，則2π3是函數y＝sin x的一個周期．( )
(2)所有的周期函數都有最小正周期．( )
(3)函數y＝sin x是奇函數．( )
[提示] (1)×.因為對任意x，sin2π3＋x與sin x并不一定相等．
(2)×.不是所有的函數都有最小正周期，如函數f(x)＝5是周期函數，就不存在最小正周期．
(3)×.函數y＝sin x的定義域為{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不關于原點對稱，故非奇非偶．
2．如圖所示的是定義在R上的四個函數的圖象，其中不是周期函數的圖象的是( )
3．若函數y＝f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數且f(1)＝3，則f(5)＝________.
4．判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)＝－2cos 3x；
(2)f(x)＝xsin(x＋π)．
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