《向量基本定理與向量的坐標》平面向量初步PPT(向量基本定理)
第一部分內容：課標闡釋
1.掌握共線向量基本定理,并會簡單應用.
2.理解平面向量基本定理,會用基底表示平面內任一向量.
3.能夠靈活應用向量定理解決平面幾何問題.
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向量基本定理與向量的坐標PPT，第二部分內容：課前篇自主預習
一、共線向量基本定理
1.填空.
如果a≠0且b∥a,則存在唯一的實數λ,使得b=λa.
2.如何理解共線向量定理?
提示:(1)由b=λa⇒a∥b中,若λ=0,則b=0,零向量與任一向量都平行.若λ>0,則a與b同向;若λ<0,則a與b反向.
(2)該定理有兩方面的應用,一是一個向量可以由另一個向量線性表示,則可以判定兩向量平行;二是若兩向量平行,則一個向量可以由另一非零向量線性表示,可以用來求參數λ,它是軸上向量坐標化的依據.
3.做一做:若|a|=5,b與a方向相反,且|b|=7,則a=____________b.
二、平面向量基本定理
1.填空.
條件 如果平面內兩個向量a與b不共線
結論 對該平面內任意一個向量c,存在唯一的實數對(x,y),使得c=xa+yb
基底 若向量a,b不共線,則{a,b}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
2.如何理解平面向量基本定理?
提示:(1)a,b是同一平面內的兩個不共線向量;
(2)該平面內的任意向量c都可用a,b線性表示,且這種表示是唯一的;
(3)對基底的選取不唯一,只要是同一平面內的兩個不共線向量都可以作為一組基底.
3.做一做:若e1,e2是平面內的一組基底,則下列四組向量能作為平面向量的基底的是( )
A.e1-e2,e2-e1
B.2e1-e2,e1- e2
C.2e2-3e1,6e1-4e2
D.e1+e2,e1-e2
答案:D
解析:e1+e2與e1-e2不共線,可以作為平面向量的基底,另外三組向量都共線,不能作為基底.
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向量基本定理與向量的坐標PPT，第三部分內容：課堂篇探究學習
向量共線問題
例1已知兩個非零向量a,b不共線,(OA) =a+b,(OB) =a+2b,(OC) =a+3b.
(1)證明:A,B,C三點共線,
(2)試確定實數k,使ka+b與a+kb共線.
分析:(1)根據共線向量定理證明;(2)利用共線向量定理建立方程組求解.
平面向量基本定理的應用
例2已知在△ABC中,D為BC的中點,E,F為BC的三等分點.若(AB) =a,(AC) =b,用a,b表示(AD) ,(AE) ,(AF) .
分析:把(AD) ,(AE) ,(AF) 分別放在一個封閉三角形中,利用線性運算不斷地向基底靠攏.
解:由題意,得
(AD)=(AB) +(BD) =(AB) +1/2 (BC) =(AB) +1/2((AC) -(AB) )
=a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b,
(AE) =(AB) +(BE) =a+1/3(b-a)=2/3a+1/3b,
(AF) =(AB) +(BF) =a+2/3(b-a)=1/3a+2/3b.
反思感悟用基底來表示向量主要有以下兩種類型
(1)直接利用基底,結合向量的線性運算,靈活應用三角形法則與平行四邊形法則求解.
(2)若直接利用基底表示比較困難,則利用“正難則反”的原則,采用方程思想求解.
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向量基本定理與向量的坐標PPT，第四部分內容：思維辨析
方程思想在向量中的應用——數學方法
典例
如圖所示,在▱ABCD中,AD,DC邊的中點分別為E,F,連接BE,BF,與AC分別交于點R,T.求證:AR=RT=TC.
審題視角要證明AR=RT=TC,只要找出AR,AT,AC的關系即可,為此需借助于(AR) 與(AC) 共線,(ER) 與(EB) 共線設參數,利用解方程求出參數.
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向量基本定理與向量的坐標PPT，第五部分內容：當堂檢測
1.點C在線段AB上,且(AC) =3/5 (AB) ,(AC) =λ(BC) ,則λ為 ( )
A.2/3 B.3/2 C.-3/2 D.-2/3
答案:C
2.已知a,b是不共線的向量,(AB) =λa+2b,(AC) =a+(λ-1)b,且A,B,C三點共線,則λ=( )
A.-1 B.-2 C.-2或1 D.-1或2
答案:D
3.△ABC中,E為AB邊的中點,F為AC邊的中點,BF交CE于點G.若(AG) =x(AE) +y(AF) ,則xy等于( )
A.2/9 B.1/3 C.4/9 D.4/3
答案:C
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