《均值不等式及其應用》等式與不等式PPT課件(第2課時均值不等式的應用)
第一部分內容：學 習 目 標
1.熟練掌握利用均值不等式求函數的最值問題．(重點)
2．會用均值不等式求解實際應用題．(難點)
核 心 素 養
1.通過均值不等式求最值，提升數學運算素養．
2．借助均值不等式在實際問題中的應用，培養數學建模素養.
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均值不等式及其應用PPT，第二部分內容：自主預習探新知
新知初探
已知x，y都是正數．
(1)若x＋y＝S(和為定值)，則當x＝y時，積xy取得最 值S24.
(2)若xy＝p(積為定值)，則當x＝y時，和x＋y取得最 值2p.
上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大．
初試身手
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝1a＋4b的最小值是( )
A.72 B．4 C.92 D．5
2．若x>0，則x＋2x的最小值是________．
3．設x，y∈N*滿足x＋y＝20，則xy的最大值為________．
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均值不等式及其應用PPT，第三部分內容：合作探究提素養
利用均值不等式求最值
【例1】(1)已知x<54，求y＝4x－2＋14x－5的最大值；
(2)已知0<x<12，求y＝12x(1－2x)的最大值．
[思路點撥] (1)看到求y＝4x－2＋14x－5的最值，想到如何才能出現乘積定值；(2)要求y＝12x(1－2x)的最值，需要出現和為定值．
規律方法
利用均值不等式求最值的關鍵是獲得滿足均值不等式成立條件，即“一正、二定、三相等”.解題時應對照已知和欲求的式子運用適當的“拆項、添項、配湊、變形”等方法創設應用均值不等式的條件.具體可歸納為三句話：若不正，用其相反數，改變不等號方向；若不定，應湊出定和或定積；若不等，一般用后面第三章函數的基本性質的知識解決.
利用均值不等式求條件最值
【例2】已知x＞0，y＞0，且滿足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．
規律方法
1．本題給出的方法，用到了均值不等式，并且對式子進行了變形，配湊出滿足均值不等式的條件，這是經常使用的方法，要學會觀察、學會變形．
2．常見的變形技巧有：(1)配湊系數；(2)變符號；(3)拆補項．常見形式有y＝ax＋bx型和y＝ax(b－ax)型．
利用均值不等式解決實際問題
【例3】如圖，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成．現有36 m長的鋼筋網材料，每間虎籠的長、寬分別設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？
[解]設每間虎籠長x m，寬y m，
則由條件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
設每間虎籠面積為S，則S＝xy.
規律方法
在應用均值不等式解決實際問題時，應注意如下思路和方法：
(1)先理解題意，設出變量，一般把要求最值的量定為函數；
(2)建立相應的函數關系，把實際問題抽象成函數的最大值或最小值問題；
(3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值；
(4)正確寫出答案．
課堂小結
1．利用均值不等式求最值，要注意使用的條件“一正、二定、三相等”，三個條件缺一不可，解題時，有時為了達到使用均值不等式的三個條件，需要通過配湊、裂項、轉化、分離常數等變形手段，創設一個適合應用均值不等式的情境．
2．不等式的應用題大都與函數相關聯，在求最值時，均值不等式是經常使用的工具，但若對自變量有限制，一定要注意等號能否取到.
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均值不等式及其應用PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基
1．思考辨析
(1)兩個正數的積為定值，一定存在兩數相等時，它們的和有最小值．( )
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，則ab≤4.( )
(3)當x>1時，函數y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函數y的最小值是2xx－1.( )
2．若實數a，b滿足a＋b＝2，則ab的最大值為( )
A．1 B．22 C．2 D．4
3．已知0<x<1，則x(3－3x)取最大值時x的值為( )
A.12 B.34
C.23 D.25
4．已知x>0，求y＝2xx2＋1的最大值．
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