《函數的單調性》函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.理解函數的單調性的概念.
2.會用函數單調性的定義判斷和證明一些簡單函數的單調性.
3.能從給定的函數圖像上直觀得出函數的單調性及單調區間.
4.掌握函數單調性的一些簡單應用.
5.理解函數的平均變化率.
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函數的單調性PPT，第二部分內容：自主預習
知識點一、函數單調性的概念
1.思考
(1)對于函數y=1/x,x∈(0,+∞),隨著自變量x的增大,函數值y有何變化規律?函數y=1/x,x∈(-∞,0)的情況呢?
提示:①對于函數y=1/x,x∈(0,+∞)任意取x∈(0,+∞),隨著x取值的增大,函數值y是減小的;
②對于y=1/x,x∈(-∞,0)任意取x∈(-∞,0),隨著x取值的增大,函數值y也是減小的.
(2)“函數y=1/x在區間(-∞,0)∪(0,+∞)內是減函數”是否正確?
提示:不正確,函數y=1/x的單調區間不能取并集,應寫為(-∞,0),(0,+∞)或(-∞,0)和(0,+∞).
(3)若把增、減函數定義中的“任意x1,x2”改為“存在x1,x2”可以嗎?
提示:不可以,如圖:
雖然Δx=2-(-1)>0,Δy=f(2)-f(-1)>0,但f(x)在[-1,2]上并不是單調函數.因此“任意”兩字不能忽視,更不能用“特殊”取代.
為了方便也可將定義改為:如果對于屬于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1≠x2時,總有(f"(" x_1 ")-" f"(" x_2 ")" )/(x_1 "-" x_2 )>0(<0) ,那么就說函數f(x)在區間D上是增(減)函數.
2.填空
一般地,設函數y=f(x)的定義域為A,且M⊆A.
(1)如果對任意x1,x2∈M,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),則稱y=f(x)在M上是增函數(也稱在M上單調遞增),如圖(1)所示.
(2)如果對任意x1,x2∈M,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),則稱y=f(x)在M上是減函數(也稱在M上單調遞減),如圖(2)所示.
如果一個函數在M上是增函數或是減函數,就說這個函數在M上具有單調性(當M為區間時,稱M為函數的單調區間).
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函數的單調性PPT，第三部分內容：探究學習
用定義法證明(判斷)函數的單調性
例1 利用單調性的定義證明函數f(x)=1/x^2 在(-∞,0)內是增函數.
分析:解題的關鍵是對Δy=f(x2)-f(x1)合理變形,最終要變為幾個最簡單因式乘積或相除的形式,以便于判號.
證明設x1,x2是(-∞,0)內的任意兩個值,且x1<x2,則Δx=x2-x1>0,
Δy=f(x2)-f(x1)=1/(x_2^2 )-1/(x_1^2 )=(x_1^2 "-" x_2^2)/(x_1^2 "•" x_2^2 )
=("(" x_1 "-" x_2 ")(" x_1+x_2 ")" )/(x_1^2 "•" x_2^2 )=("-" Δx"•(" x_1+x_2 ")" )/(x_1^2 "•" x_2^2 ),
∵x_1^2•x_2^2>0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函數f(x)=1/x^2 在(-∞,0)內是增函數.
反思感悟證明函數的單調性的步驟
1.取值:設x1,x2為給定區間內任意的兩個值,且x1<x2(在證明函數的單調性時,由于x1,x2的取值具有任意性,它代表區間內的每一個數,所以在證明時,不能用特殊值來代替它們);
2.作差變形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并將差向有利于判斷差值的符號的方向變形(作差后,盡量把差化成幾個簡單因式的乘積或幾個完全平方式的和的形式,這是值得學習的解題技巧,在判斷因式的正負號時,經常采用這種變形方法);
3.定號:判斷符號的依據是自變量的取值范圍、假定的大小關系及符號的運算法則;
4.判斷:根據定義作出結論(若Δx=x2-x1與Δy=f(x2)-f(x1)同號,則函數在給定區間是增函數;異號,則是減函數).
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函數的單調性PPT，第四部分內容：思維辨析
分類討論思想在函數單調性中的應用
典例 討論函數f(x)=ax/(x^2 "-" 1)(-1<x<1,a≠0)的單調性.
思路點撥:要討論函數的單調性,只需要用定義判定,由于函數中含有參數,因此要注意分類討論思想的應用.
解:設x1,x2是(-1,1)內的任意兩個自變量,且x1<x2.
則f(x1)-f(x2)=(ax_1)/(x_1^2 "-" 1)-(ax_2)/(x_2^2 "-" 1)=(a"(" x_1 x_2+1")(" x_2 "-" x_1 ")" )/("(" x_1^2 "-" 1")(" x_2^2 "-" 1")" ).
∵x1x2+1>0,x2-x1>0,x_1^2-1<0,x_2^2-1<0,
∴當a>0時,f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
此時f(x)在(-1,1)內是減函數;
當a<0時,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
此時f(x)在(-1,1)內是增函數.
綜上所述,當a>0時,函數f(x)在(-1,1)內是減函數;
當a<0時,函數f(x)在(-1,1)內是增函數.
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函數的單調性PPT，第五部分內容：當堂檢測
1.下列函數在區間(-∞,0)內為增函數的是( )
A.f(x)=3-x B.f(x)=1/(x"-" 1)
C.f(x)=x2-2x-1 D.f(x)=-|x|
解析:設任意x1,x2∈(-∞,0),Δx=x2-x1>0,選項A中,Δy=f(x2)-f(x1)=(3-x2)-(3-x1)=x1-x2<0,所以該函數在區間(-∞,0)內為減函數;同理可判斷選項B中和選項C中函數在區間(-∞,0)內為減函數,選項D中函數在區間(-∞,0)內為增函數.
答案:D
2.下列命題正確的是( )
A.定義在(a,b)內的函數f(x),若存在x1<x2,使得f(x1)<f(x2),則f(x)在(a,b)內為增函數
B.定義在(a,b)內的函數f(x),若有無數多對x1,x2∈(a,b),使得當x1<x2時有f(x1)<f(x2),則f(x)在(a,b)內為增函數
C.若f(x)在區間I1上為增函數,在區間I2上也為增函數,則f(x)在I1∪I2上為增函數
D.若f(x)在區間I上為增函數,且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),則x1<x2
解析:根據函數單調性的定義來判斷.
答案:D
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