《函數的單調性》函數的概念與性質PPT課件(第2課時函數的平均變化率)

《函數的單調性》函數的概念與性質PPT課件(第2課時函數的平均變化率)

第一部分內容：學 習 目 標

1.理解斜率的含義及平均變化率的概念．(重點)

2．掌握判斷函數單調性的充要條件．(重點、難點)

核 心 素 養

通過利用函數f(x)的平均變化證明f(x)在I上的單調性，提升數學運算和培養邏輯推理素養.

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函數的單調性PPT，第二部分內容：自主預習探新知

新知初探

1．直線的斜率

(1)定義：給定平面直角坐標系中的任意兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，當x1≠x2時，稱________為直線AB的斜率；(若記Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，當Δx≠0時，斜率記為ΔyΔx)，當x1＝x2時，稱直線AB的斜率________．

(2)作用：直線AB的斜率反映了直線相對于__軸的傾斜程度．

2．平均變化率與函數單調性

若I是函數y＝f(x)的定義域的子集，對任意x1，x2∈I且x1≠x2，記y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，ΔyΔx＝y2－y1x2－x1即ΔfΔx＝f(x2)－f(x1)/x2－x1，則

(1)y＝f(x)在I上是增函數的充要條件是ΔyΔx   0在I上恒成立；

(2)y＝f(x)在I上是減函數的充要條件是ΔyΔx   0在I上恒成立．

3．平均變化率的物理意義

(1)把位移s看成時間t的函數s＝s(t)，則平均變化率的物理意義是物體在時間段[t1，t2]上的平均速度，即v＝st2－st1t2－t1.

(2)把速度v看成時間t的函數v＝v(t)，則平均變化率的物理意義是物體在時間段[t1，t2]上的平均加速度，即a＝vt2－vt1t2－t1.

初試身手

1．已知點A(1,0)，B(－1,1)，則直線AB的斜率為(　　)

A．－12　 　　B.12　 　　C．－2　 　　D．2

2．如圖，函數y＝f(x)在[1,3]上的平均變化率為(　　)

A．1        B．－1        C．2        D．－2

3．一次函數y＝－2x＋3在R上是________函數．(填“增”或“減”)

4．已知函數f(x)＝2x2＋3x－5，當x1＝4，且Δx＝1時，求Δy的平均變化率ΔyΔx.

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函數的單調性PPT，第三部分內容：合作探究提素養

平均變化率的計算

【例1】　一正方形鐵板在0 ℃時邊長為10 cm，加熱后會膨脹，當溫度為t ℃時，邊長變為10(1＋at)cm，a為常數．試求鐵板面積對溫度的平均膨脹率．

[思路點撥]　由正方形的邊長與面積關系列出函數表達式，再求面積的平均變化率．

規律方法

1．關于平均變化率的問題在生活中隨處可見，常見的有求某段時間內的平均速度、平均加速度、平均膨脹率等．找準自變量的改變量和因變量的改變量是解題的關鍵．

2．求平均變化率只需要三個步驟：(1)求出或者設出自變量的改變量；(2)根據自變量的改變量求出函數值的改變量；(3)求出函數值的改變量與自變量的改變量的比值．

跟蹤訓練

1．路燈距地面8 m，一個身高為1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影點C處沿直線勻速離開路燈．

(1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關系式；

(2)求人離開路燈10 s內身影長度y關于時間t的平均變化率．

利用平均變化率證明函數的單調性

【例2】若函數y＝f(x)是其定義域的子集I上的增函數且f(x)＞0，求證：g＝1f(x)在I上為減函數．

規律方法

單調函數的運算性質

若函數f（x），g（x）在區間I上具有單調性，則：

1f（x）與f（x）＋CC為常數具有相同的單調性.

2f（x）與a•f（x），當a＞0時具有相同的單調性；當a＜0時具有相反的單調性.

二次函數的單調性最值問題

[探究問題]

1．二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的對稱軸與區間[m，n]可能存在幾種位置關系，試畫草圖給予說明？

2．求二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，應考慮哪些因素？

課堂小結

1．平均變化率中Δx，Δy，ΔyΔx的理解

(1)函數f(x)應在x1，x2處有定義；

(2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可負；

(3)注意變量的對應，若Δx＝x2－x1，則Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；

(4)平均變化率可正可負，也可為零．但是，若函數在某區間上的平均變化率為0，并不能說明該函數在此區間上的函數值都相等．

2．判斷函數y＝f(x)在I上單調性的充要條件

(1)y＝f(x)在I上單調遞增的充要條件是ΔyΔx＞0恒成立；

(2)y＝f(x)在I上單調遞減的充要條件是ΔyΔx＜0恒成立.

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函數的單調性PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基

1．思考辨析

(1)一次函數y＝ax＋b(a≠0)從x1到x2的平均變化率為a.(　　)

(2)函數y＝f(x)的平均變化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1的幾何意義是過函數y＝f(x)圖像上兩點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直線的斜率．(　　)

(3)在[a，b]上，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)任意兩點的平均變化率都相等．(　　)

2．函數f(x)＝x從1到4的平均變化率為(　　)

A.13　B.12

C．1  D．3

3．李華在參加一次同學聚會時，他用如圖所示的圓口杯喝飲料，李華認為：如果向杯子中倒飲料的速度一定(即單位時間內倒入的飲料量相同)，那么杯子中飲料的高度h是關于時間t的函數h(t)，則函數h(t)的圖像可能是(　　)

4．一質點的運動方程為s＝8－3t2，其中s表示位移(單位：m)，t表示時間(單位：s)．求該質點在[1,1＋Δt]這段時間內的平均速度．

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