《函數的單調性》函數的概念與性質PPT課件(第1課時單調性的定義與證明)
第一部分內容：學 習 目 標
1.理解函數的單調性及其幾何意義，能運用函數圖像理解和研究函數的單調性．(重點)
2．會用函數單調性的定義判斷(或證明)一些函數的單調性，會求一些具體函數的單調區間．(重點、難點)
3．理解函數的最大值和最小值的概念，能借助函數的圖像和單調性，求一些簡單函數的最值．(重點、難點)
核 心 素 養
1.借助單調性判斷與證明，培養數學抽象、邏輯推理、直觀想象素養．
2．利用求單調區間、最值、培養數學運算素養．
3．利用函數的最值解決實際問題，培養數學建模素養.
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函數的單調性PPT，第二部分內容：自主預習探新知
新知初探
1．增函數與減函數的定義
條件 一般地，設函數y＝f(x)的定義域為A，且M⊆A：如果對任意x1，x2∈M，當x1＞x2時
都有f(x1)＞f(x2) 都有f(x1)＜f(x2)
結論 y＝f(x)在M上是增函數(也稱在M上單調遞增) y＝f(x)在M上是減函數(也稱在M上單調遞減)
思考1：增(減)函數定義中的x1，x2有什么特征？
提示：定義中的x1，x2有以下3個特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字絕不能去掉，證明時不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常規定x1＞x2；
(3)屬于同一個單調區間．
2．函數的單調性與單調區間
如果函數y＝f(x)在M上單調遞增或單調遞減，那么就說函數y＝f(x)在M上具有(當M為區間時，稱M為函數的單調區間，也可分別稱為單調遞增區間或單調遞減區間)．
思考2：函數y＝1/x在定義域上是減函數嗎？
提示：不是．y＝1/x在(－∞，0)上遞減，在(0，＋∞)上也遞減，但不能說y＝1/x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上遞減．
3．函數的最值
初試身手
1．函數y＝f(x)的圖像如圖所示，其增區間是( )
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
2．下列函數中，在區間(0，＋∞)上是減函數的是( )
A．y＝－1x B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝1－x
3．函數y＝f(x)在[－2,2]上的圖像如圖所示，則此函數的最小值、最大值分別是( )
A．－1,0 B．0,2
C．－1,2 D.12，2
4．函數f(x)＝x2－2x＋3的單調減區間是________．
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函數的單調性PPT，第三部分內容：合作探究提素養
定義法證明(判斷)函數的單調性
【例1】證明：函數f(x)＝x＋1x在(0,1)上是減函數．
規律方法
利用定義證明函數單調性的步驟
1取值：設x1，x2是該區間內的任意兩個值，且x1＞x2.
2作差變形：作差fx1－fx2，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉化為易判斷正負的式子.
3定號：確定fx1－fx2的符號.
4結論：根據fx1－fx2的符號及定義判斷單調性.
提醒：作差變形是證明單調性的關鍵，且變形的結果是幾個因式乘積的形式.
求函數的單調區間
【例2】求下列函數的單調區間，并指出該函數在其單調區間上是增函數還是減函數．
(1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝2x＋1，x≥1，5－x，x<1；
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
規律方法
求函數單調區間的方法
1利用已知函數的單調性求函數的單調區間.
2利用函數圖像求函數的單調區間.
提醒：1若所求出函數的單調增區間或單調減區間不唯一，函數的單調區間之間要用“，”隔開.
2理清“單調區間”和“在區間上單調”的區別與聯系.
函數單調性的應用
[探究問題]
1．若函數f(x)是其定義域上的增函數，且f(a)>f(b)，則a，b滿足什么關系．如果函數f(x)是減函數呢？
提示：若函數f(x)是其定義域上的增函數，那么當f(a)>f(b)時，a>b；若函數f(x)是其定義域上的減函數，那么當f(a)>f(b)時，a<b.
2．決定二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c單調性的因素有哪些？
提示：開口方向和對稱軸的位置，即字母a的符號及－b2a的大?。?/p>
【例3】(1)若函數f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在區間(－∞，3]上是增函數，則實數a的取值范圍是________．
(2)已知函數y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數，且f(2x－3)>f(5x－6)，則實數x的取值范圍為________．
規律方法
函數單調性的應用
1函數單調性定義的“雙向性”：利用定義可以判斷、證明函數的單調性，反過來，若已知函數的單調性可以確定函數中參數的取值范圍.
2若一個函數在區間[a，b]上是單調的，則此函數在這一單調區間內的任意子集上也是單調的.
課堂小結
1．定義單調性時應強調x1，x2在其定義域內的任意性，其本質是把區間上無限多個函數值的大小比較轉化為兩個任意值的大小比較．
2．證明函數的單調性(利用定義)一定要嚴格遵循設元、作差、變形、 定號、結論的步驟,特別在變形上,一定要注意因式分解、配方等技巧的運用，直到符號判定水到渠成才可．
3．求函數的最值與求函數的值域類似，常用的方法是：
(1)圖像法，即畫出函數的圖像，根據圖像的最高點或最低點寫出最值；
(2)單調性法，一般需要先確定函數的單調性，然后根據單調性的意義求出最值；
4．通過函數最值的學習，滲透數形結合思想，樹立以形識數的解題意識．
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函數的單調性PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基
1．思考辨析
(1)若函數y＝f(x)在定義域上有f(1)<f(2)，則函數y＝f(x)是增函數．( )
(2)若函數y＝f(x)在區間[1,3]上是減函數，則函數y＝f(x)的單調遞減區間是[1,3]．( )
(3)任何函數都有最大(小)值．( )
(4)函數f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．( )
2．下列函數中，在(0,2)上是增函數的是( )
A．y＝1x B．y＝2x－1
C．y＝1－2x D．y＝(2x－1)2
3．函數y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域為________．
4．試用函數單調性的定義證明：f(x)＝2xx－1在(1，＋∞)上是減函數．
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