《函數及其表示方法》函數的概念與性質PPT課件(第1課時函數的概念)
第一部分內容：學 習 目 標
1.進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型．能用集合與對應的語言刻畫出函數，體會對應關系在刻畫數學概念中的作用．(重點、難點)
2．了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域．(重點)
核 心 素 養
1.通過學習函數的概念，培養數學抽象素養．
2．借助函數定義域的求解，培養數學運算素養．
3．借助f(x)與f(a)的關系，培養邏輯推理素養.
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函數及其表示方法PPT，第二部分內容：自主預習探新知
新知初探
1．函數的概念
定義
給定兩個_________A與B，以及對應關系f，如果對于集合A中的______實數x，按照對應關系f，在集合B中都有______確定的實數y＝f(x)與x對應，則稱f為定義在集合A上的一個______，記作：y＝f(x)，x∈A，其中x稱為自變量，y稱為因變量
三要素
對應關系 y＝f(x)，x∈A
定義域 自變量x的取值的范圍 (即數集A)
值域 所有函數值組成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈__}
思考：(1)有人認為“y＝f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”，這種看法對嗎？
(2)f(x)與f(a)有何區別與聯系？
提示：(1)這種看法不對．
符號y＝f(x)是“y是x的函數”的數學表示，應理解為x是自變量，f是對應關系，y是自變量的函數，當x允許取某一具體值時，相應的y值為與該自變量值對應的函數值．y＝f(x)僅僅是函數符號，不表示“y等于f與x的乘積”．在研究函數時，除用符號f(x)外，還常用g(x)，h(x)等來表示函數．
(2)f(x)與f(a)的區別與聯系：f(a)表示當x＝a時，函數f(x)的值，是一個常量，而f(x)是自變量x的函數，一般情況下，它是一個變量，f(a)是f(x)的一個特殊值，如一次函數f(x)＝3x＋4，當x＝8時，f(8)＝3×8＋4＝28是一個常數．
2．兩個函數相同
一般地，如果兩個函數的定義域______，對應關系也______(即對自變量的每一個值，兩個函數對應的函數值都相等)，則稱這兩個函數就是同一個函數．
初試身手
1．思考辨析
(1)函數y＝f(x)＝x2，x∈A與u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一個函數．( )
(2)函數y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]與g(x)＝2x，x∈[0,2]表示的是同一個函數．( )
(3)函數y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]與h(x)＝x2，x∈(0,2)表示同一個函數．( )
[提示](1)兩個函數定義域相同，對應關系也相同．
(2)兩函數的對應關系不同．
(3)兩函數的定義域不同．
2．函數y＝1x＋1的定義域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
3．若f(x)＝11－x2，則f(3)＝________.
4．下表表示y是x的函數，則函數的值域是________．
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函數及其表示方法PPT，第三部分內容：合作探究提素養
函數的概念
【例1】(1)下列四組函數，表示同一函數的是( )
A．f(x)＝x2，g(x)＝x
B．f(x)＝x，g(x)＝x2x
C．f(x)＝3x3，g(x)＝x
D．f(x)＝x2，g(x)＝(x)4
(2)判斷下列對應f是否為定義在集合A上的函數．
①A＝R，B＝R，對應法則f：y＝1x2；
②A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，對應法則如圖所示．
(1)C [選項A中，由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝x兩函數對應法則不同，所以它們不是同一函數；
選項B中，由于f(x)＝x的定義域為R，g(x)＝x2x的定義域為{x|x≠0}，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數；
選項C中，f(x)＝3x3＝x，g(x)＝x的定義域和對應法則完全相同，所以它們是同一函數；
選項D中，f(x)＝x2的定義域為R，g(x)＝(x)4＝x2的定義域為[0，＋∞)，兩個函數的定義域不相同，所以它們不是同一函數．]
(2)[解]①A＝R，B＝R，對于集合A中的元素x＝0，在對應法則f：y＝1x2的作用下，在集合B中沒有元素與之對應，故所給對應不是定義在A上的函數．
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一個元素在對應法則f的作用下，在集合B中都有唯一的元素與之對應，故所給對應是定義在A上的函數．
③集合A中的元素3在集合B中沒有與之對應的元素，且集合A中的元素2在集合B中有兩個元素(5和6)與之對應，故所給對應不是定義在A上的函數．
規律方法
1．判斷對應關系是否為函數的2個條件
(1)A，B必須是非空實數集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應．
對應關系是“一對一”或“多對一”的是函數關系，“一對多”的不是函數關系．
2．判斷函數相等的方法
(1)先看定義域，若定義域不同，則不相等；
(2)若定義域相同，再化簡函數的解析式，看對應關系是否相同．
課堂小結
1．判斷兩個函數相同
函數的定義主要包括定義域和定義域到值域的對應法則，因此，判定兩個函數是否相同時，就看定義域和對應法則是否完全一致，完全一致的兩個函數才算相同．
2．對函數定義的再理解
(1)函數的定義域必須是非空實數集，因此定義域為空集的函數不存在．如y＝11－x＋x－3就不是函數；集合A中的元素是實數，即A≠∅且A⊆R.
(2)函數定義中強調“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對于非空數集A中的任意一個(任意性)元素x，都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對應．這三性只要有一個不滿足，便不能構成函數．
(3)函數f(x)的定義域是非空數集A，但值域不一定是非空數集B，而是非空數集B的子集．
例如，對于從集合A＝R到集合B＝R的函數y＝x2，值域是{y|y≥0}，而不是R.
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函數及其表示方法PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基
1．思考辨析
(1)函數的定義域和對應關系確定后，函數的值域也就確定了．( )
(2)函數值域中每一個數在定義域中一定只有一個數與之對應．( )
(3)函數的定義域和值域一定是無限集合．( )
2．下列函數中，與函數y＝x相等的是( )
A．y＝(x)2 B．y＝x2
C．y＝|x| D．y＝3x3
3．將函數y＝31－1－x的定義域為________．
4．已知函數f(x)＝x＋1x.
(1)求f(x)的定義域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)當a≠－1時，求f(a＋1)的值．
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