《函數的應用》《數學建?；顒?決定蘋果的最佳出售時間點》函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.會利用所學知識,解決一次函數型、二次函數型及分段函數型的實際問題.
2.掌握求解函數應用題的基本步驟,培養學生的數學應用意識.
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第二部分內容：自主預習
知識點一、函數模型
1.思考
(1)在函數建模中,怎樣確立兩個變量是哪種函數關系?
提示:通常需要先畫出函數圖像,根據圖像來確定兩個變量的關系,選擇函數類型.
(2)函數模型在實際應用中,函數的自變量有什么特點?
提示:在實際應用中,函數的自變量x往往具有實際意義,如x表示長度時,x≥0;x表示件數時,x≥0,且x∈Z等.在解答時,必須要考慮這些實際意義.
(3)已知某商場經營一批進價為12元/個的小商品,在4天的試銷中,對此商品的銷售單價x(元)與相應的日銷售量y(個)進行了統計,其數據如下表:
你能否找到一種函數,使它反映y關于x的函數關系?若能,寫出函數解析式.
提示:觀察x,y的數據,可大體看到y與x是一次函數關系,
令y=kx+b(k≠0).
因為當x=16時,y=42,當x=20時,y=30,
代入得{■(42=16k+b"," @30=20k+b"," )┤解得{■(k="-" 3"," @b=90"." )┤
即y=-3x+90.
顯然當x=24時,y=18;當x=28時,y=6.
對照數據,可以看出y=-3x+90即為所求的函數解析式.
考慮到x的實際意義及y的取整性,所以y=-3x+90,x∈{1,2,3,…,30}.
2.填空
(1)一次函數模型
解析式:y=kx+b(k≠0).
(2)二次函數模型
①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);
②頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中頂點坐標為(h,k).
(3)分段函數模型
有些實際問題,在事物的某個階段對應的變化規律不盡相同,此時我們可以選擇利用分段函數模型來刻畫它,由于分段函數在不同的區間中具有不同的解析式,因此分段函數在研究條件變化的實際問題中,或者在某一特定條件下的實際問題中具有廣泛的應用.
歸納提高1.在求其解析式時,應先確定分“段”,即函數分成幾段,并抓住“分界點”,確保分界點“不重,不漏”.
2.在求函數值時,先確定自變量的值所屬的區間,再代入;同樣,已知函數值,求解自變量的值時,就是解方程的過程,即每段都令y取已知函數值,解出相應x的值,再判斷是否屬于所在區間.
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第三部分內容：探究學習
一次函數模型的應用
例1 (1)某廠日生產文具盒的總成本y(元)與日產量x(套)之間的關系為y=6x+30 000.而出廠價格為每套12元,要使該廠不虧本,至少日生產文具盒( )
A.2 000套 B.3 000套
C.4 000套 D.5 000套
(2)商店出售茶壺和茶杯,茶壺定價為每個20元,茶杯每個5元,該商店推出兩種優惠辦法:
①買一個茶壺贈一個茶杯;
②按總價的92%付款.
某顧客需購買茶壺4個,茶杯若干個(不少于4個),若購買茶杯x(個),付款y(元),分別建立兩種優惠辦法中y與x之間的函數解析式,并討論該顧客買同樣多的茶杯時,兩種辦法哪一種更優惠?
(1)解析:因利潤z=12x-(6x+30 000),所以z=6x-30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生產文具盒5 000套.
答案:D
(2)解:由優惠辦法①可得函數解析式為y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由優惠辦法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),
令y1-y2=0,得x=34.
所以,當購買34個茶杯時,兩種辦法付款相同;
當4≤x<34時,y1<y2,即優惠辦法①更省錢;
當x>34時,y1>y2,優惠辦法②更省錢.
反思感悟1.一次函數模型的實際應用:
一次函數模型應用時,本著“問什么,設什么,列什么”這一原則.
2.一次函數的最值求解:
一次函數求最值,常轉化為求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答時,注意系數a的正負,也可以結合函數圖像或其單調性來求最值.
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第四部分內容：思維辨析
因忽視實際問題中x的范圍而致誤
典例 如圖所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(a>b),在AB,AD,CB,CD上分別截取AE=AH=CF=CG=x(x>0),設四邊形EFGH的面積為y.
(1)寫出四邊形EFGH的面積y與x之間的函數關系式;
(2)求當x為何值時,y取得最大值,最大值是多少?
以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何訂正?你怎么防范?
提示:錯解過程中一是沒注意實際問題中x的取值范圍,二是求函數最值時沒有討論對稱軸與區間的關系,但從根本上錯誤的根源是第(1)問中沒有明確定義域.
防范措施1.對實際問題中的函數解析式一定要注意自變量x要受實際問題的約束,養成遇到實際問題“定義域優先”的習慣.
2.有時一個小細節的失誤,會導致嚴重錯誤的產生.因此解決實際問題時,要充分考慮問題的背景、實際意義、隱含條件等.
變式訓練某企業實行裁員增效.已知現有員工a人,每人每年可創純收益(已扣工資等)1萬元,據評估,在生產條件不變的條件下,每裁員一人,則留崗人員每人每年可多創收0.01萬元,但每年需付給每位下崗工人0.4萬元生活費,并且企業正常運轉所需人數不得少于現有員工的 ,設該企業裁員x人后年純收益為y萬元.
(1)寫出y關于x的函數解析式,并指出x的取值范圍;
(2)當140<a≤280時,該企業應裁員多少人,才能獲得最大的經濟效益?(注:在保證能取得最大經濟效益的情況下,能少裁員,應盡量少裁)
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第五部分內容：當堂檢測
1.一個等腰三角形的周長是20,則底邊長y是關于腰長x的函數,其解析式為( )
A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10)
C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10)
答案:D
2.某生產廠家的生產總成本y(萬元)與產量x(件)之間的關系式為y=x2-80x,若每件產品的售價為25萬元,則該廠獲得最大利潤時,生產的產品件數為( )
A.52 B.52.5 C.53 D.52或53
解析:因為利潤=收入-成本,當產量為x件時(x∈N),利潤f(x)=25x-(x2-80x),
3.某商店進貨單價為45元,若按50元一個銷售,能賣出50個;若銷售單價每漲1元,其銷售量就減少2個,為了獲得最大利潤,此商品的最佳售價應為每個_________元.
解析:設漲價x元,銷售的利潤為y元,
則y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40x+250=-2(x-10)2+450,
所以當x=10,即銷售價為60元時,y取得最大值.
答案:60
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