《函數與方程、不等式之間的關系》函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.了解函數零點的定義,會求簡單函數的零點.
2.掌握判斷一元二次方程根的存在及個數的方法.
3.了解函數的零點與方程根的聯系,能利用具體函數的圖像,借助計算器用二分法求相應方程的近似解.
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函數與方程不等式之間的關系PPT，第二部分內容：自主預習
知識點一、函數的零點
1.思考
(1)二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實根的條件是什么?
提示:當Δ≥0,即b2-4ac≥0時,二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實數根.
(2)一次函數y=kx+m(k≠0)的圖像與x軸的交點坐標是什么?這個交點的坐標與方程kx+m=0的根有何關系?
提示:交點坐標為("-" m/k "," 0),其中交點的橫坐標恰好為方程kx+m=0的根.
2.填空
(1)定義:
一般地,如果函數y=f(x)在實數α處的值等于零,即f(α)=0,則α叫做這個函數的零點.
(2)性質:
①當函數的圖像通過零點且穿過x軸時,函數值變號.
②兩個零點把x軸分為三個區間,在每個區間上所有函數值保持同號.
知識點二、二次函數、一元二次方程和一元二次不等式之間的聯系
1.思考
(1)二次函數沒有零點的等價說法是什么?
提示:二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0),當Δ=b2-4ac<0時,函數y=f(x)沒有零點,則函數y=f(x)的圖像與x軸沒有交點.
(2)二次函數的零點最多只有兩個嗎?所有的二次函數都有零點嗎?
提示:二次函數的零點最多只有兩個,因為二次函數對應的一元二次方程最多只有兩個根.并不是所有的二次函數都有零點,這是因為不是所有的一元二次方程都有實數根,如函數y=x2+2x+2就沒有零點.
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函數與方程不等式之間的關系PPT，第三部分內容：探究學習
求函數的零點
例1 求下列函數的零點:
(1)f(x)=-x2-2x+3;
(2)f(x)=x4-1.
分析:解對應的方程的根,即為函數的零點.
解:(1)由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
所以方程-x2-2x+3=0的兩根是-3,1.
故函數的零點是-3,1.
(2)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),
所以方程x4-1=0的實數根是-1,1.
故函數的零點是-1,1.
反思感悟求函數零點的方法
1.函數零點的求法:解方程f(x)=0,所得實數解就是f(x)的零點.解三次以上的高次方程時,一般需要因式分解.
2.對于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以將它與函數y=f(x)的圖像聯系起來,圖像與x軸交點的橫坐標即為函數的零點.
變式訓練1求f(x)=x3-4x的零點.
解:令f(x)=0,即x3-4x=0,所以x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0,
解得x1=0,x2=-2,x3=2.
所以函數f(x)=x3-4x有3個零點,分別是-2,0,2.
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函數與方程不等式之間的關系PPT，第四部分內容：規范解答
二次函數的零點綜合問題
典例 已知二次函數f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.
(1)當函數f(x)有兩個不同零點時,求k的取值范圍;
(2)若-1和-3是函數的兩個零點,求k的值;
(3)若函數的兩個不同零點是α,β,求α2+β2關于k的關系式h(k).
思路點撥:本題考查對二次函數零點的理解及零點的性質.本題中的函數f(x)是二次函數,因此其零點的判斷和零點的性質問題可以轉化為二次方程根的判斷或根的性質.
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函數與方程不等式之間的關系PPT，第五部分內容：當堂檢測
1.(多選)下列函數圖像與x軸均有交點,其中能用二分法求函數零點的圖像是( )
答案:ACD
2.若關于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實根1,2,則實數f(x)=cx2+bx+a的零點為( )
A.1,2 B.-1,-2
C.1,1/2 D.-1,-1/2
解析:∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實根1,2,
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