《等式》等式與不等式PPT課時(第2課時一元二次方程的解集及其根與系數的關系)

《等式》等式與不等式PPT課時(第2課時一元二次方程的解集及其根與系數的關系)

第一部分內容：學 習 目 標

1.理解一元二次方程的定義，并會求一元二次方程的解集．(重點)

2．掌握一元二次方程的根的判別式，并會用其判斷根的個數．(重點) 

3．掌握一元二次方程的根與系數的關系，并會用其求一些關于方程兩根的代數式的值．(重點、難點)

核 心 素 養

1.通過對一元二次方程的解集及根與系數的關系的學習，培養數學抽象、邏輯推理的數學素養．

2．通過求一元二次方程的解集，提升數學運算素養.

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等式PPT，第二部分內容：自主預習探新知

新知初探

1．一元二次方程的定義 

形如ax2＋bx＋c＝0的方程為一元二次方程，其中a，b，c是_______，且a≠0.

2．一元二次方程的解法 

(1)直接開平方法：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法．

(2)配方法：通過方程的簡單變形，將左邊配成一個含有未知數的完全平方式，若右邊是一個非負常數，則可以運用直接開平方法求解， 這種解一元二次方程的方法叫做配方法．

(3)公式法：將一元二次方程中的系數a，b, c的值代入式子x＝－b±b2－4ac2a中，就求得方程的根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法．

3．一元二次方程根的判別式 

式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判別式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac.當Δ＞0 時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個____的實數根；當Δ＝0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個____的實數根；當Δ＜0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____實數根．

4．一元二次方程的根與系數的關系 

如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根是x1，x2，那么x1＋x2＝－ba，x1•x2＝ca，即兩個根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩個根的積等于常數項與二次項系數的比．

初試身手

1．一元二次方程x2－16＝0的解集是(　　)

A．{－8,8}　B．{－4}

C．{4}  D．{－4,4} 

2．用配方法解方程x2－8x＋5＝0，將其化為(x＋a)2＝b的形式，正確的是(　　)

A．(x＋4)2＝11  B．(x＋4)2＝21

C．(x－8)2＝11  D．(x－4)2＝11

3．用公式法解方程6x－8＝5x2時，a，b，c的值分別是(　　)

A．5、6、－8  B．5、－6、－8

C．5、－6、8  D．6、5、－8 

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等式PPT，第三部分內容：合作探究提素養

一元二次方程的解法

角度一　直接開平方法

【例1】用直接開平方法求下列一元二次方程的解集：

(1)4y2－25＝0；(2)3x2－x＝15－x.

[思路點撥]　可將方程轉化為x2＝p(p≥0)的形式．再兩邊開平方進行降次，化為一元一次方程．

規律方法

應用直接開平方法求一元二次方程解集的主要步驟

1化為x2＝pp≥0的形式；

2直接開平方；

3解兩個一元一次方程，寫出方程的兩個根；

4總結寫成解集的形式.

跟蹤訓練

1．用直接開平方法求下列一元二次方程的解集．

(1)(x＋1)2＝12；

(2)(6x－1)2－25＝0.

 角度二　配方法

【例2】　用配方法求下列方程的解集．

(1)x2＋4x－1＝0；

(2)4x2＋8x＋1＝0.

規律方法

利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0，先把二次項系數變為1，即方程兩邊都除以a，然后把常數項移到方程右邊，再把方程兩邊加上一次項系數一半的平方，把方程的一邊配方化為一個完全平方式，另一邊化為非負數，然后用直接開平方法求解若另一邊為負數，則此方程無實數根.

一元二次方程的根的判別式

【例4】不解方程，判斷下列一元二次方程的解集情況．

(1)3x2－2x－1＝0；

(2)2x2－x＋1＝0；

(3)4x－x2＝x2＋2.

[解](1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有兩個不相等的實數根．∴方程的解集中有兩個元素．

(2)∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，∴方程沒有實數根．∴方程的解集為空集．

(3)方程整理為x2－2x＋1＝0, ∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0, ∴方程有兩個相等的實數根．∴方程的解集中有一個元素．

規律方法

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0的根的判別式Δ＝b2－4ac.當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程沒有實數根.

課堂小結

1．一元二次方程的解法：(1)直接開平方法；(2) 配方法；(3)公式法．

2．一元二次方程根與系數的關系

如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根是x1，x2，那么x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.利用這個關系，可以求一些關于方程兩根的代數式的值的問題．

注意：一元二次方程的根與系數的關系需滿足的前提條件是：①a≠0；②Δ≥0.

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等式PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基

1．一元二次方程x2－9＝0的解集是(　　)

A．{3}　　B．{－3}

C．{－3,3}  D．{－9,9} 

2．一元二次方程x2＝3x的解集是(　　)

A．{0}　B．{3}  C．{－3}　D．{0,3} 

3．一元二次方程4x2＋1＝4x的解集情況是(　　)

A．為空集  B．只有一個元素

C．有兩個元素  D．無法確定元素的個數 

4．將方程x2－2x＝3化為(x－m)2＝n的形式，則m，n分別是________．

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