《函數的奇偶性》函數的概念與性質PPT(第1課時奇偶性的概念)

《函數的奇偶性》函數的概念與性質PPT(第1課時奇偶性的概念)

第一部分內容：學 習 目 標

1.理解奇函數、偶函數的定義．

2．了解奇函數、偶函數圖像的特征．

3．掌握判斷函數奇偶性的方法.

核 心 素 養

1.借助奇(偶)函數的特征，培養直觀想象素養．

2．借助函數奇、偶的判斷方法，培養邏輯推理素養.

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函數的奇偶性PPT，第二部分內容：自主預習探新知

新知初探

條件  設函數y＝f(x)的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有－x∈D

結論 f(－x)＝f(x)      f(－x)＝－f(x)

圖像特點 關于____對稱   關于____對稱

思考：具有奇偶性的函數，其定義域有何特點？

提示：定義域關于原點對稱．

初試身手

1．下列函數是偶函數的是(　　)

A．y＝x　B．y＝2x2－3

C．y＝1x  D．y＝x2，x∈[0,1]

2．下列圖像表示的函數具有奇偶性的是(　　)

B　[B選項的圖像關于y軸對稱，是偶函數，其余選項中的圖像都不具有奇偶性．]

3．函數y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函數，則a等于(　　)

A．－1　B．0  C．1　D．無法確定

4．若f(x)為R上的偶函數，且f(2)＝3，則f(－2)＝________.

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函數的奇偶性PPT，第三部分內容：合作探究提素養

函數奇偶性的判斷

【例1】判斷下列函數的奇偶性：

(1)f(x)＝x3＋x；

(2)f(x)＝1－x2＋x2－1；

(3)f(x)＝2x2＋2xx＋1；

(4)f(x)＝x－1，x<0，0，x＝0，x＋1，x>0.

[解]　(1)函數的定義域為R，關于原點對稱．

又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，

因此函數f(x)是奇函數．

(2)由1－x2≥0，x2－1≥0得x2＝1，即x＝±1.

因此函數的定義域為{－1,1}，關于原點對稱．

又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函數又是偶函數．

(3)函數f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，

不關于原點對稱，所以f(x)既不是奇函數也不是偶函數．

奇偶函數的圖像問題

【例2】已知奇函數f(x)的定義域為[－5,5]，且在區間[0,5]上的圖像如圖所示．

(1)畫出在區間[－5,0]上的圖像；

(2)寫出使f(x)<0的x的取值集合．

[解](1)因為函數f(x)是奇函數，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖像關于原點對稱．

由y＝f(x)在[0,5]上的圖像，可知它在[－5,0]上的圖像，如圖所示．

(2)由圖像知，使函數值y<0的x的取值集合為(－2，0)∪(2,5)．

規律方法

巧用奇、偶函數的圖像求解問題

1依據：奇函數⇔圖像關于原點對稱，偶函數⇔圖像關于y軸對稱.

2求解：根據奇、偶函數圖像的對稱性可以解決諸如求函數值或畫出奇偶函數圖像的問題.

2．如圖是函數f(x)＝1x2＋1在區間[0，＋∞)上的圖像，請據此在該坐標系中補全函數f(x)在定義域內的圖像，并說明你的作圖依據．

利用函數的奇偶性求值

[探究問題]

1．對于定義域內的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，則函數f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？

提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)為奇函數．

由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數．

2．若f(x)是奇函數且在x＝0處有定義，則f(0)的值可求嗎？若f(x)為偶函數呢？

提示：若f(x)為奇函數，則f(0)＝0；若f(x)為偶函數，無法求出f(0)的值．

規律方法

利用奇偶性求參數的常見類型及策略

1定義域含參數：奇、偶函數fx的定義域為[a，b]，根據定義域關于原點對稱，利用a＋b＝0求參數.

2解析式含參數：根據f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數即可求解.

課堂小結

1．奇偶性是函數“整體”性質，只有對函數f(x)定義域內的每一個值x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能說f(x)是奇函數(或偶函數)．

2．函數的奇偶性是其相應圖像特殊對稱性的反映，也體現了在關于原點對稱的定義域的兩個區間上函數值及其性質的相互轉化，這是對稱思想的應用.

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函數的奇偶性PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基

1．思考辨析

(1)函數f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函數．(　　)

(2)對于函數y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數y＝f(x)一定是奇函數．(　　)

(3)不存在既是奇函數，又是偶函數的函數．(　　)

(4)若函數的定義域關于原點對稱，則這個函數不是奇函數就是偶函數．(　　)

2．函數f(x)＝|x|＋1是(　　)

A．奇函數　B．偶函數

C．既是奇函數又是偶函數  D．非奇非偶函數

3．已知函數f(x)＝ax2＋2x是奇函數，則實數a＝______.

4．已知函數y＝f(x)是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x.現已畫出函數f(x)在y軸左側的圖像，如圖所示．

(1)請補充完整函數y＝f(x)的圖像；

(2)根據圖像寫出函數y＝f(x)的增區間；

(3)根據圖像寫出使f(x)<0的x的取值集合．

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