《函數與方程、不等式之間的關系》函數PPT課件(第1課時)
第一部分內容：學 習 目 標
1.理解函數零點的概念以及函數的零點與方程的根之間的關系．(難點)
2．會求函數的零點．(重點)
3．掌握函數與方程、不等式之間的關系，并會用函數零點法求不等式的解集．(重點、難點)
核 心 素 養
1.借助函數零點概念的理解，培養數學抽象的素養．
2．通過函數與方程、不等式之間的關系的學習，提升邏輯推理的素養．
3．利用零點法求不等式的解集，培養數學運算的素養.
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函數與方程不等式之間的關系PPT，第二部分內容：自主預習探新知
新知初探
1．函數的零點
(1)函數零點的概念：一般地，如果函數y＝f(x)在實數α處的函數值______，即______，則稱實數α為函數y＝f(x)的零點．
(2)三者之間的關系：
函數f(x)的零點⇔函數f(x)的圖像與x軸有交點⇔方程f(x)＝0____________．
2．二次函數的零點及其與對應方程、不等式的關系
(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函數f(x)＝ax2＋bx＋c的______．
(2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函數值為_______的自變量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函數值為 的自變量x的取值集合．
3．圖像法解一元二次不等式的步驟
(1)解一元二次不等式對應的一元二次方程；
(2)求出其對應的二次函數的_____；
(3)畫出二次函數的_____；
(4)結合圖像寫出一元二次不等式的 _____．
初試身手
1．函數y＝1＋1x的零點是( )
A．(－1,0) B．x＝－1
C．x＝1 D．x＝0
2．根據表格中的數據，可以斷定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一個根所在的區間是( )
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
3．若f(x)＝－x2＋mx－1的函數值有正值，則m的取值范圍是( )
A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2
C．m≠±2 D．1＜m＜3
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函數與方程不等式之間的關系PPT，第三部分內容：合作探究提素養
函數的零點及求法
【例1】求函數f(x)＝x3－7x＋6的零點．
[解]令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，
∴(x3－x)－(6x－6)＝0，
∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)•(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，
解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函數f(x)＝x3－7x＋6的零點是1,2，－3.
規律方法
求函數y＝f(x)的零點通常有兩種方法：一是令y＝0，根據解方程f(x)＝0的根求得函數的零點；二是畫出函數y＝f(x)的圖像，圖像與x軸的交點的橫坐標即為函數的零點.
跟蹤訓練
1．如圖所示是一個二次函數y＝f(x)的圖像．
(1)寫出這個二次函數的零點；
(2)試比較f(－4)•f(－1)，f(0)•f(2)與0的大小關系．
[解](1)由圖像可知，函數f(x)的兩個零點分別是－3,1.
(2)根據圖像可知，f(－4)•f(－1)＜0，f(0)•f(2)＜0.
二次函數的零點及其與對應方程、不等式的關系
【例2】利用函數求下列不等式的解集：
(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；
(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．
[解] (1)方程x2－5x－6＝0的兩根為x1＝－1，x2＝6.
結合二次函數y＝x2－5x－6的圖像知，
原不等式的解集為(－∞，－1)∪(6，＋∞)．
(2)原不等式可化為(x－2)(x＋3)＞0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的兩根為x1＝2，x2＝－3.
結合二次函數y＝(x－2)(x＋3)的圖像知，
原不等式的解集為(－∞，－3)∪(2，＋∞)．
規律方法
利用函數求不等式解集的基本步驟
1把一元二次不等式化成一般形式，并把a的符號化為正；
2計算其對應一元二次方程的根的判別式Δ；
3求其對應一元二次方程的根；
4寫出解集大于取兩邊，小于取中間.
用函數零點法求一元高次不等式的解集
【例3】求函數f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)的零點，并作出函數圖像的示意圖，寫出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．
[解] 函數的零點為－3,1,2.
函數的定義域被這三個點分成四部分，每一部分的符號如下表所示．
課堂小結
1．方程f(x)＝g(x)的根是函數f(x)與g(x)的圖像交點的橫坐標，也是函數y＝f(x)－g(x)的圖像與x軸交點的橫坐標．
2．二次函數的零點及其與對應方程、不等式的關系
(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函數f(x)＝ax2＋bx＋c的零點．
(2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函數值為正數的自變量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是f(x)＝ax2＋bx＋c的函數值為負數的自變量x的取值集合．
3．圖像法解一元二次不等式的步驟
(1)解一元二次不等式對應的一元二次方程；
(2)求出其對應的二次函數的零點；
(3)畫出二次函數的圖像；
(4)結合圖像寫出一元二次不等式的解集．
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函數與方程不等式之間的關系PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基
1．下列圖像表示的函數中沒有零點的是( )
A [B，C，D的圖像均與x軸有交點，故函數均有零點，A的圖像與x軸沒有交點，故函數沒有零點．]
2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的區間是( )
A．(－1,0)
B．(1,2)
C．一個根在(－1,0)上，另一個根在(1,2)上
D．一個根在(0,1)上，另一個根在(－2，－1)上
3．函數f(x)＝x－1x零點的個數是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函數f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零點個數是________．
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