《函數與方程、不等式之間的關系》函數PPT課件(第2課時)
第一部分內容：學 習 目 標
1.掌握函數零點的存在性定理，并會判斷函數零點的個數. (重點)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函數零點近似解的步驟．(難點)
3．理解函數與方程之間的聯系，并能用函數與方程思想分析問題、解決問題．(重點、難點)
核 心 素 養
1.通過存在性定理的學習，培養邏輯推理的素養．
2．通過二分法的學習，提升數據分析，數學建模的學科素養．
3．理解函數與方程之間的聯系，提升數學抽象的學科素養.
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函數與方程不等式之間的關系PPT，第二部分內容：自主預習探新知
1．函數零點的存在性定理
如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的，并且 f(a)f(b)＜0 (即在區間兩個端點處的函數值異號)，則函數y＝f(x)在區間[a，b]中至少有一個零點，即∃x0∈[a，b]，f(x0)＝0.
2．二分法的定義
(1)二分法的條件：函數y＝f(x)在區間[a，b]上連續不斷且 f(a)f(b)＜0.
(2)二分法的過程：通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法，稱為二分法．由函數的零點與相應方程根的關系，也可以用二分法求方程的近似解．
3．用二分法求函數零點近似值的步驟
給定精確度ε，用二分法求函數f(x)在[a，b]上的零點近似值的步驟是：
第一步 檢查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝a＋b2，計算結束；如果不成立，轉到第二步．
第二步 計算區間[a，b]的中點a＋b2對應的函數值，若fa＋b2＝0，取x1＝a＋b2，計算結束；若fa＋b2≠0，轉到第三步．
第三步 若f(a)fa＋b2＜0，將a＋b2的值賦給b用a＋b2→b表示，下同，回到第一步；若fa＋b2f(b)＜0，將a＋b2的值賦給a，回到第一步．
初試身手
1．下列函數不宜用二分法求零點的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
2．若函數f(x)在區間[a，b]上為單調函數，且圖像是連續不斷的曲線，則下列說法中正確的是( )
A．函數f(x)在區間[a，b]上不可能有零點
B．函數f(x)在區間[a，b]上一定有零點
C．若函數f(x)在區間[a，b]上有零點，則必有f(a)•f(b)＜0
D．若函數f(x)在區間[a，b]上沒有零點，則必有f(a)•f(b)＞0
3．用“二分法”可求近似解，對于精確度ε說法正確的是( )
A．ε越大，零點的精確度越高
B．ε越大，零點的精確度越低
C．重復計算次數就是ε
D．重復計算次數與ε無關
4．若函數f(x)的圖像是連續不斷的，且f(0)>0，f(1)•f(2)•f(4)<0，則下列命題正確的是________．
①函數f(x)在區間(0,1)內有零點；
②函數f(x)在區間(1,2)內有零點；
③函數f(x)在區間(0,2)內有零點；
④函數f(x)在區間(0,4)內有零點．
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函數與方程不等式之間的關系PPT，第三部分內容：合作探究提素養
判斷函數零點所在的區間
【例1】求證：方程x4－4x－2＝0在區間[－1,2]內至少有兩個實數解．
[證明] 設f(x)＝x4－4x－2，其圖像是連續曲線．
因為f(－1)＝3＞0，f(0)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，
所以方程在(－1,0)，(0,2)內都有實數解．
從而證明該方程在給定的區間內至少有兩個實數解．
規律方法
一般而言，判斷函數零點所在區間的方法是將區間端點代入函數求出函數的值，進行符號判斷即可得出結論．此類問題的難點往往是函數值符號的判斷，可運用函數的有關性質進行判斷．
跟蹤訓練
1．若函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖像為連續不斷的一條曲線，則下列說法正確的是( )
A．若f(a)f(b)＞0，則不存在實數c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)＜0，則存在且只存在一個實數c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)＞0，則有可能存在實數c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)＜0，則有可能不存在實數c∈(a，b)使得f(c)＝0
對二分法概念的理解
【例2】下列圖像與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數零點的是( )
B [利用二分法求函數的零點必須滿足零點兩側函數值異號，在選項B中，不滿足零點兩側函數值異號，不能用二分法求零點．由于A、C、D中零點的兩側函數值異號，故可采用二分法求零點．]
規律方法
二分法是求一般函數的零點的一種通法，使用二分法的前提條件是：函數零點的存在性.對“函數在區間[a，b]上連續”的理解如下：不管函數在整個定義域內是否連續，只要找得到包含零點的區間上函數圖像是連續的即可.
用二分法求函數零點
【例3】求函數f(x)＝x2－5的負零點．(精確度為0.1)
[解] 由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，故取區間(－3，－2)作為計算的初始區間，用二分法逐次計算，列表如下：
規律方法
利用二分法求函數零點應關注三點
1要選好計算的初始區間，這個區間既要包含函數的零點，又要使其長度盡量小.
2用列表法往往能比較清晰地表達函數零點所在的區間.
3根據給定的精確度，及時檢驗所得區間長度是否達到要求，以決定是停止計算還是繼續計算.
課堂小結
1．二分法就是通過不斷地將所選區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，直至找到零點附近足夠小的區間，根據所要求的精確度，用此區間的某個數值近似地表示真正的零點．
2．并非所有函數都可以用二分法求其零點，只有滿足：
(1)在區間[a，b]上連續不斷；
(2)f(a)•f(b)<0，
上述兩條的函數方可采用二分法求得零點的近似值.
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函數與方程不等式之間的關系PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基
1．函數y＝－x2＋8x－16在區間[3,5]上( )
A．沒有零點 B．有一個零點
C．有兩個零點 D．有無數個零點
2.用二分法求函數f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個正零點的近似值(精確到0.1)時，依次計算得到如下數據：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，關于下一步的說法正確的是( )
A．已經達到精確度的要求，可以取1.4作為近似值
B．已經達到精確度的要求，可以取1.375作為近似
C．沒有達到精確度的要求，應該接著計算f(1.437 5)
D．沒有達到精確度的要求，應該接著計算f(1.312 5)
3．函數圖像與x軸均有交點，但不宜用二分法求交點橫坐標的是( )
4.用二分法求函數零點，函數的零點總位于區間[an，bn]上，
當|an－bn|＜ε時，函數的近似零點an＋bn2與真正零點的誤差不超過
A．ε B.12ε
C．2ε D.14ε
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